单元六微分方程模型详解.ppt

单元六 微分方程模型 案例1 如何预报人口的增长 案例2 传染病模型 项目一 掌握微分方程模型及其解法 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 案例1 如何预报人口的增长 指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式 x(t) ~时刻t的人口 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 随着时间增加，人口按指数规律无限增长. 与常用公式的一致 rt e x t x 0 ) ( = ? 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合. 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代. 可用于短期人口增长预测. 不符合19世纪后多数地区人口增长规律. 不能预测较长期的人口增长过程. 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降) 阻滞增长模型(logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用, 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） r是x的减函数 dx/dt x 0 xm xm/2 xm t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型(logistic模型) 指数增长模型 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm . 根据统计数据利用线性最小二乘法作拟合 阻滞增长模型(logistic模型) 例：美国人口数据(百万) 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 2000 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 t x 数据(t,x) 数据(x,y) 用最小二乘法估计r,s r,xm 模型检验 用模型计算2000年美国人口 误差不到3% 阻滞增长模型(logistic模型) r=0.2557, xm=392.1 用美国1860~1990年数据(去掉个别异常数据) 与实际数据(2000年为281.4)比较 1790年为零点 =274.5 Logistic 模型的应用 模型应用 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 预报美国2010年的人口 经济领域中的增长规律(耐用消费品的售量). 种群数量模型 (鱼塘中的鱼群, 森林中的树木). 预报人口的增长 指数增长模型 阻滞增长模型 参数估计和模型检验是建模的重要步骤. 线性最小二乘法是参数估计的基本方法. 修改假设 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律. 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型. 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析. 二者结合 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数. 1.4 数学建模的方法和步骤 动态模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程. 分析对象特征的变化规律. 预报对象特征的未来性态. 研究控制对象特征的手段. 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. 微分方程建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设. 按照内在规律或用类比法建立微分方程. 案例2 传染病模型 描述传染病的传播过程. 分析受感染人数的变化规律. 预报传染病高潮到来的时刻. 预防传染病蔓延的手段. 不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型. 背景 与 问题 传染病的极大危害(艾滋病、SARS、?) 基本方法 已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为? 模型1 假设 若有效接触的是病人