复旦大学力学与工程科学系2014年暑期课程考试试卷详解.pdf

复旦大学力学与工程科学系 2014 年暑期课程考试试卷 A 卷 B 卷 课程名称：经典力学数学名著选讲 (有关微积分的深化) 课程代码：MECH130087.01 开课院系：力学与工程科学系 考试形式：开卷/闭卷/课程论文 姓名： 学号： 专业： 题号 1/(1) 1/(2) 2/(1) 2/(2) 3/(1) 3/(2) 3/(3) 3/(4) 4/(1) 4/(2) 得分 题号 4/(3) 4/(4) 5/(1) 5/(2) 5/(3) 6/(1) 6/(2) 6/(3) 6/(4) 7/(1) 得分 题号 7/(2) 8/(1) 8/(2) 8/(3) 总分 得分 1 一般赋范线性空间上微分学 Problem 1 (赋范线性空间) 考虑有界线性算子空间 , 为赋范线性空间, 为完备 的赋范线性空间. 定义 上的函数 sup ̸ 1. 证明: 为 上的范数. 2. 证明: 当 为完备赋范线性空间时, 有界线性算子空间 上成立如下关系式 ∑ Problem 2 (可微性) 考虑一般形式的映照 ∏ ∋ ∏ 式中 和 为任意赋范线性空间. ◦ 1. 叙述: 在 点可微的定义. 1 2. 推导: ∏ ∏ 的表达式. Problem 3 (隐映照定理及其导数/微分计算) 考虑以下映照 ∋ 式中 , 和 为赋范线性空间, 且 具有完备性, 并且 . 1. 叙述: 隐映照定理. 2. 计算: 隐映照的一阶导数. 3. 考虑映照 ◦ ∋ ◦ 此处 , . 证明: 上述映照的微分具有如下形式