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多元VaR―均值投资组合优化问题理论及实证探究 　　【摘要】在经济、保险和金融领域，风险价值（VaR）被投资者广泛用来度量金融风险，100α% VaR被定义为一个临界阈值，使得投资组合在持有期内损失超过这个阈值的概率为α。本文基于Raúl Torres et.al[1]（2015）关于多元VaR（即■）的研究，类似一元VaR-均值的情形，提出了■-均值的最优投资组合问题，采用遗传算法对■-均值模型进行实证分析。该研究从理论上推广了经典的VaR-均值组合优化问题，结论显示该研究具有很好的经济学意义 【关键词】多元VaR 遗传算法 ■-均值优化 一、引言 1994年10月，J.P Morgan首先突出了新的风险管理系统――风险度量制，提出风险价值VaR这一概念。在VaR方法被提出之前，风险管理几乎都是采用资产负债的模式进行衡量 传统理论上，风险测度被认为是从一系列实值随机向量到实数的映射。然而考虑单一的实值测度来量化商业活动产生的风险往往是不充分的，尤其当这个风险可能被其他的外部风险因素所影响 本文提出了■-均值的最优投资组合问题，采用遗传算法对■-均值模型进行实证分析。该研究从理论上推广了经典的VaR-均值组合优化问题，结论显示该研究具有很好的经济学意义 二、文献综述 在提出一元VaR后，基于Markowitz均值―方差选择最优投资组合理论，屠新曙[2]（2002）考虑将VaR代替经典Markowitz均值―方差最优投资组合理论中的方差来刻画风险 近些年，许多研究人员将VaR风险测度拓展到多变量背景下。例如，Arbia[3]（2002），Tibiletti[4]（2001），Nappo和Spizzichino[5]（2009）研究了二维的情形。同时，对于更普遍的多变量分布，Lee和Prékopa[6]（2012），Embrechts和Puccetti[7]（2006），Cousin和Di Bernardino[8]（2013）将VaR风险测度与水平面（集）联系起来，这个水平面（集）是根据风险X的分布函数或生存函数累积到α值所定义的，也被认定为是一个分位数表面。最近Cousin和Di Bernardino（2013）基于Embrechts和Puccetti（2006）研究的水平面提出了一种新的多变量VaR的定义。他们把多变量VaR定义为Embrechts和Puccetti（2006）考虑的表面上的点的均值，这样，输出的结果就是一个和损失随机变量同样维数的点 三、多元VaR-均值组合优化问题的提出 定义1[1] 在Rn中，以顶点x和方向u确定的方向象限定义为 ■ （3.1） 其中，■，Ru为正交矩阵，使得■■ 定义2[1] 以顶点x和方向u确定的QR方向象限，记作Cux，并满足 Ru=QeQu （3.2） 定义3[1] X为Rn中随机向量，满足正则条件，对应分布为F，0≤α≤1，则给定方向u和概率水平α，X的定向多元VaR定义为 ■ （3.3） 类似于一元情形考虑VaR-均值的问题，在多元情形下我们同样也可以考虑。为了便于理解，考虑如下情境：设rij为第i个行业第j只股票的收益率（其中i=1，…m；j=1，…n），wij为对应于rij的头寸，那么显然■为行业i对应投资组合的收益率，记rw=（r1，…，rm）为各行业总体投资收益。特别地，当m取1时，就转化成为一维情形，对应的VaR-均值问题变成了考虑某一个行业中投资组合收益-风险的最优化问题，这与通常意义下考虑整个股票市场上，不区分行业地选择各种股票进行投资组合的本质其实是一致的。这里是为了针对多元的情况，理解上方便才有行业的区分。在实际问题中，考虑的往往是这样的一类问题，譬如一个大的金融机构，存在m个分支机构，对于每个分支机构而言，需要进行各种投资活动，类似于选取n只股票?M行投资，对于整个的金融机构而言，它关心的是各分支机构收益-风险的整体情况，所以才会有多元VaR-均值问题的提出： ■ （3.4） 其中，■i（i=1，…，m）为第i个行业给定的预期收益率，■i（i=1，…，m）为第i个行业给定的预期最大损失。上述考虑的是在面对各行业风险给定的情形下，在一定置信水平α下投资者追求各行业收益最大的问题 从上面的模型可以看出目标函数存在m个分量，这意味该目标函数其实是多目标函数。针对多目标优化问题，常用的方法有约束法、加权法、距离函数法、分层序列法。这里考虑采用加权法来处理上述多目标问题，（a1，…，am）为目标分量的权重值，表现为下面的结构，反应的是求一个金融机构总体的收益率水平最大化。这里就■给出多元VaR-均值问题： ■ （3.5） 上述模型可以理解为对于一个具有