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完整系统及非完整系统自由度讨论 　　摘要：分别讨论了完整约束、线性非完整约束、非线性非完整约束加在虚位移上的条件，得出了独立的广义坐标数与广义坐标的独立变分数之间的关系，确定了系统的自由度 关键词：自由度；完整约束；非完整约束 引言 在分析力学之前，确定物体的位置所需要的独立坐标数称为系统的自由度。而在分析力学中，变分占据着重要的地位，自由度的定义也变成了广义坐标的独立变分数，下面我们将看到在完整系统和非完整系统中广义坐标的独立变分数与独立的广义坐标的个数之间的关系 2.完整系统 分析力学中的自由度定义如下：系统广义坐标的独立变分数目，称为系统的自由度 首先研究完整约束加在虚位移上的条件。设力学系统有个质点组成，并受有个完整约束，即： （1） 在瞬时，系统中的点由发生虚位移，而达到点，根据虚位移的定义，质点的新位置必须仍在约束面上，即有 （2） 将其展开为级数，有： （3） 利用（1）式，忽略高阶小量，得 （4） 这就是个完整约束（1）加在虚位移上的个限制条件，此时独立变分数只剩下了个。由于，故方程（4）有无穷多个解 对于完整约束，选个彼此独立的广义坐标，直角坐标可用广义坐标表示出： （5） 其变分可用独立变分表示出： （6） 因此，对于完整系统，独立坐标的数目等于独立变分的数目。即系统独立坐标数即为系统的自由度 3.非完整系统 对于非完整约束系统，假设系统受个线性非完整约束，其微分形式为： （7） 其中系数是坐标和时间的函数。在的特殊情况下，约束称为线性齐次非完整约束。因为虚位移是系统位置在这一时刻相应的变化，时间不变，故可在上式中用符号代替，并且，可得： （8） 这是约束加在虚位移上的条件，将（6）式代入（8）式，得到 （9） 其中 （10） 因此，对具有个完整约束和个非完整约束的力学系统，独立坐标数目仍然是，但有个关系式（9），独立变分数目成为 对于非线性非完整约束情形，假设系统所受约束有如下形式： （11） 关于此时加在虚位移上的限制，Appell-Четаев给出了一种公理性的定?x： （12） 可以看出，线性非完整约束是它的特殊情形 此时，独立坐标数目仍然是，但有个关系式（12），独立变分数目成为 4.结论 对完整系统来说，独立坐标的数目等于广义坐标的独立变分数目。对非完整系统，因为坐标变分之间有个关系式（9）或（12），所以已不全是独立的，只有个是独立的。因此，对于非完整系统来说，独立坐标的数目是，而独立变分的数目为独立坐标的数目减去非完整约束方程的数目，即 参考文献 [1]周衍柏.理论力学教程（第三版）[M].北京.高等教育出版社，2009 [2]梅风翔.分析力学（上卷）[M].北京.北京理工大学出版社，2013 [3]梅风翔，刘端，罗勇.高等分析力学[M].北京.北京理工大学出版社，1991 1