2014年暑假高数、线代、概率学生讲义.doc

高数部分 专题1 极限问题求解方法 例6.2.5 函数展成幂级数、幂级数求和、函数展成傅里叶级数、周期延拓、奇延拓、偶延拓。 线性代数部分 第一章 行列式 行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。 【考点一】 形如的行列式称为范德蒙行列式。范德蒙行列式的特点是： 其每列元素 按的升幂排列，构成一个等比数列，第二行的元素 分别为每列元素的公比，且第一行元素为1. 范德蒙行列式的值为： 【】 （其中均不为0） 【考点二】掌握简化行列式运算的两个重要公式：设是阶方阵，是阶方阵，则 （1）；（2）. 【】均是阶矩阵，， 则 【考点三】若行列式中含有变量，则该行列式展开后成为关于的多项式，可考查该多项式的次数、零点等问题。 【例3】 设行列式 则方程的根的个数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【考点四】计算代数余子式线性组合的值： 1．行列式元素的余子式和代数余子式：在行列式中，取元素，其中表示位于该行列式中第行、第列的一个元素，我们去掉所在的第行和第列的所有元素，把剩余的个元素按其原来的位置关系组装成一个新的阶行列式，记作，并称其为原行列式中元素的余子式。因为在该行列式中一共有个元素，每个元素都有一个余子式，所以这个阶行列式一共有个余子式. 如果在元素的之前加上符号，则称其为元素的代数余子式，记作. 将两边都乘以得 ，因此，. 2．行列式元素的代数余子式的性质和特点： 设行列式 （1）和的大小无关； （2） （称为行列式按第行展开） ， （称为行列式按第列展开） 代数余子式的这个性质称为行列式的按行按列展开定理或行列式的按行按列展开公式. 显然，行列式可按任何一行展开，也可按任何一列展开。 （3）. 这表示行列式一行的元素分别与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为. （4）利用行列式按行按列展开公式计算代数余子式的代数和的方法：替换法。所谓替换法实质上就是将行列式按行按列展开公式反过来使用，我们去掉代数余子式所在的第行的所有元素，换成代数余子式前面的系数，其余元素不变，按其原来的位置关系组装成一个新的阶行列式，即 . 【例4】设4阶行列式，求. 【考点五】计算抽象矩阵的行列式：主要利用矩阵行列式的性质。 设为阶矩阵，则有 （1）（2） （3） （4）设为阶可逆矩阵，则 （5）利用行列式加法运算的性质： 设为维列向量，为维行向量，则 ， 【】，且，则 . 【】为三阶矩阵，为的个列向量，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【】阶方阵的特征值为，且方阵与相似，是的伴随矩阵，则行列式 第二章 矩阵 矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用。学习线性代数的目标之一，就是要学会利用矩阵这一工具去刻画你所面对的问题，并能利用矩阵的运算和性质去解决问题。 矩阵考试的重点是：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵，矩阵的秩。以计算题为主，技巧性强。 对于矩阵每一种运算一定要搞清三点：什么条件下可以运算；运算的结果是什么；如何运算？ 【考点六】矩阵的乘法运算： 1、矩阵乘法没有交换律：一般，因为相配，但不一定相配，即便相配也未必相等。因此矩阵相乘时要注意运算次序。 2、矩阵乘法不满足消去律，即由且，不能推出.因此，大家在遇到且时，不能随便约分，但可以移项变为. 3、一般只有可交换时，才有但当时不能推出可交换. 【】均为维列向量，，且可逆，则 【】，，设，则. 【考点七】方阵的伴随矩阵与可逆矩阵 1．方阵的伴随矩阵：设方阵， 称为方阵的伴随矩阵。 其中：为方阵的行列式的的代数余子式。 2．方阵的逆矩阵：对于阶方阵，如果有一个阶方阵，使 ，则称方阵是可逆的，并把方阵称为方阵的逆矩阵。记 . 3．阶方阵，的逆矩阵和伴随矩阵满足下面运算规律： （1） （2） （3） （4） （5）， （6） （7） （8） （9） （10） （为常数，A为阶矩阵，） （11）（A为阶矩阵，） （12）（A为任阶矩阵，） （13） （14） （15）设A是阶矩阵，则 4. 矩阵A可逆的充要条件： （1）存在阶方阵B，使 （2） （3）秩（A为阶方阵） （4）A与同阶单位矩阵E等价 （