大学理工类常用求导公式.pdf

辅导七 求导数法则 一、学习要求 掌握基本初等函数的求导公式; 掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则; 了解 反函数的求导法则; 掌握隐函数的求导方法. 二、内容提要 1. 导数的四则运算法则 设u=u(x), v=v(x)都可导, 则 (1)[u(x)±v(x)]′=u′(x) ±v′(x); (2)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x); (3)[cu(x)]′=cu′(x) (c 为常数); ′ ′ u(x) ′ u (x)v(x)− u(x)v (x) (4) [ ] = 2 (v(x)≠0). v(x) v (x) : 乘积的求导法则是: 前一项的导数乘以后一项, 加上后一项的导数乘以前一项. 商的求导法则是: 分子的导数乘以分母, 减去分母的导数乘以分子, 除以分母的平方. 2. 运算法则的推广 (u +u + ⋅⋅⋅ +u )′= u ′+u ′+ ⋅⋅⋅ +u ′. 1 2 n 1 2 n (u u ⋅⋅⋅ u )′=u ′u ⋅⋅⋅ u +u u ′⋅⋅⋅ u +⋅⋅⋅ + u u ⋅⋅⋅ u ′. 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 3. 复合函数的求导法则 设y =f (u), u=ϕ(x), 则复合函数y =f [ϕ(x)] 的导数为 d y d y d u d y ′ ′ = ⋅ , 或写成 = f (u )⋅ϕ (x ) . d x d u d x d x : 这个求导法则一定要掌握, 大多数情况下都要用这个公式求导数. 4. 反函数的求导法则 − 1 d y 1 ′ 1 设函数y =f (x) 的反函数为x=f (y ), 则 = , 即f (x )= . d x d x [f − 1 (y )]′ d y 5. 隐函数的求导法则 由方程P(x , y )=0 可以一个函数y =f (x), 这个函数称为由P(x , y )=0 确定的隐函数. 在等 式P(x , y )=0 的两边逐项对自变量x 求导数, 即可得到一个包含y ′ 的一次方程, 解出y ′, 即为 隐函数y =f (x