数论浅谈整数解之奥秘.PDF

數學傳播 40 卷 1期, pp. 31-38 數論淺談: 整數解之奧秘 魏福村 本文原載中央研究院週報第 1538期 「知識天地」, 經作者及週報同意轉載, 僅此致謝。 — 編輯室 在數學的學習過程中, 我們最早開始接觸的數字便是整數, 但其卻也是數學裡最難掌握的 其中之一。 數論研究中除了最近很紅的質數分佈問題之外 (2013年被張益唐院士打開了一道關 鍵大門), 另一大類研究便是方程式的整數解問題。 整數解的問題敘述常常很簡單, 然而 目前可 以說還沒有一個一統天下的辦法。 二十世紀末數學界裡最重要的工作之一便是 Andrew Wiles 證明了費馬最後定理 : n n n X + Y = Z 在 n ≥ 3 時沒有非零 (即 X,Y,Z 均不為零) 的整數解。 這短短一小句話, 背後竟藏著非常高深抽象的理論並開啟了二十一世紀許多新的數學領域。 但 若把這個方程式小改一下, 便又可以考倒絕大多數的人了。 整數解的問題討論在基礎教育中其 實很少, 因為實在是太深不見底了。 不過也透過整數解問題的這種渾沌美, 讓我們可以應用在資 訊傳輸的安全上 (例如密碼與編碼系統)。 在這篇文章裡, 我們回憶一些熟悉的整數解問題 (韓 信點兵和畢氏三元數), 進而介紹費馬最後定理以及七個 「一百萬問題」 之一: Birch and Swinnerton-Dyer 猜想。 希望透過這篇文章能讓讀者對於整數解的研究有所認識。 1. 中國剩餘定理與線性方程 「兵不知數, 三三數之剩二 , 五五數之剩三, 七七數之剩二」 — 出自 『孫子算經』。 這題相信大家或多或少都曾見過的韓信點兵, 用現代的數學符號描述如下: N ≡ 2 mod 3, N ≡ 3 mod 5, N ≡ 2 mod 7, 求 N ≡ ? mod 105。 心算快的或是很會猜數字的人可以很快得知 N ≡ 23 mod 105。 但是若是將 3, 5, 7 改為更為 31 32 數學傳播 40 卷 1期 民 105年 3 月 複雜的數字便會大大增加求解之困難度。 現在讓我們來回憶一下一般求其通解的過程:  N ≡ 1 mod 3, N ≡ 0 mod 5, N ≡ 0 mod 7 1 1 1  (1) 先解 N ≡ 0 mod 3, N ≡ 1 mod 5, N ≡ 0 mod 7 ; 2 2 2   N ≡ 0 mod 3, N ≡ 0 mod 5, N ≡ 1 mod 7 3 3 3 (2) 令 N ≡ 2 · N + 3 · N + 2 · N mod 105 即為答案。 1 2 3 第一步解出 N ,N ,N 的方法主要是透過長除法: 利用 3 和 5 · 7 = 35 互質, 透過長除 1 2 3 法得到 1 = 3 − 2 = 3 − (35 − 11 · 3) = 12 · 3 − 35, 因此 N ≡ −35 mod 105 ≡ 70 mod 105。 1 同理得 N ≡ 21 mod 105 和 N ≡ 15 mod 105。 從第二步可知 2 3 N ≡ 2 · 70 + 3 · 21 + 2 · 15 m