微分基本公式三、微分四则运算法则四、微分形式不.ppt

* 一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用 第四节 微分及其运算 一、微分的定义 当正方形的边长从 变到 时，相应的面积增量 .函数增量 分成两部分，一部分是 的线性部分 ，一部分是关于 的高阶无穷小 当立方体的边长从 变到 时，相应的体积增量 函数增量 分成两部分，一部分是 的线性部分 一部分是关于 的高阶无穷小 其中A与 无关，而 是关于 的高阶无穷小，则称y=f(x)在x0 可微，而 称为y=f(x)在点x0处的微分，记为 定义2.4 设y=f(x)在点x0 的某邻域内有定义， 属于该邻域.若 即 同样可以定义y=f(x)在点x处的微分dy或df.即若 对于函数y=x,一方面有dy=dx,另一方面△y=(x+ △x)－x,得dy= △x,因而有△x=dx,即自变量的增量与自变量的微分是一回事,在微分中常写成 则称A ·△x为y=f(x)在点x处的微分,记为dy或df.这里o(x)为△x的高阶无穷小. 1.设y=f(x)在点x处可导,则 ,偶极限基本定理知 其中 即有 其中 与△x无关,而α· △x=o(△x).因此y=f(x)可微,且有 2.设y=f(x)可微.则 其中A与△x无关. o(△x)为△x的高阶无穷小.此时 因此y=f(x)在点x处可导,且有 ,即 定理2.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且有 . 由于 ，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比，因此导数也称微商. 微分dy的几何意义，就是曲线y=f(x)在点 处的切线的纵坐标的增量. 二、微分的基本公式 微分的基本公式： 三、微分的四则运算法则 定理2.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 , u , v可微，且有 证 定理2.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 ，则 可微， 且有 . 证 例1 设 解 例2 设y=x tan x－sin x，求dy. 解 注意，当然也可以直接用公式 求微分. 例3 设 解 四、微分形式的不变性 设y=f(u),u=g(x)都可微，则复合函数y=f(g(x))也可微，此时有 可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，总有 ，这就是微分形式的不变性.利用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分. * *