拆项相消法在高中数学中应用.doc

拆项相消法在高中数学中应用 　　?笛У谋局试谟凇肮叵怠庇搿靶问健?.“拆项相消法”或叫f（k+1）-f（k）法就是体现数量关系中的一种形式的转换.其理论是：若ak=f（k+1）-f（k）.则Sn=∑nk=1ak= f（n+1）-f（1）.拆项相消法实质是：先分解再组合， 即把一个数列的通项公式分成几项差的形式，再将所有项重新组合，相加过程消去中间项，只剩有限项求和. 例如，求式子 412?3+52?3?4+63?4?5+...+n+3n（n+1）（n+2）的和，由于 ak=k+3k（k+1）（k+2） =k+2k（k+1）（k+2）+1k（k+1）（k+2） =1k（k+1）+1k（k+1）（k+2） =（1k-1k+1）+12[1k（k+1）-1（k+1）（k+2）]. 从而Sn=∑nk=1（1k-1k+1）+12∑nk=1[1k（k+1）-1（k+1）（k+2）] =（1-1n+1）+12[12-1（n+1）（n+2）]=n（5n+11）4（n+1）（n+2）. 实际上，拆项相消法有其广泛的应用. 一、在求等差数列的前n项和中的应用 教材上是用所谓“倒序相加”来求等差数列的前n项和Sn的，可是，很少人去关注拆项相消法. 从等差数列的定义出发，为简单起见，不妨设a1-d=a0（d为公差）. 因ak=12dak（ak+1-ak-1） =12d（akak+1- ak-1ak）. 所以 Sn=∑nk=1ak=12d[（a1a2-a0a1）+（a2a3-a1a2）+...+（anan+1-an-1an）] =12d（anan+1-a0a1）① =12d（anan+1-ana1+ana1-a0a1） =12d（annd+a1nd）=n（a1+an）2. 若在上述①式以后用an=a1+（n-1）d，an+1=a1+nd代入，可直接得到Sn=na1+12n（n-1）d. 二、公式12+22 +32 +…+n2=16n（n+1）（2n+1）的推导. 公式∑nk=1k2的推导，不是一件很简单的事. 卢正勇先生的《数学解题思路》（获“1987年全国优秀畅销书”奖）中介绍了一种利用恒等式（n+1）3-n3=3n2+3n+1迭加的求和方法.现在用拆项相消法： 一方面，Tn=1×2+2×3+…+n（n+1） =∑nk=1k（k+1）=∑nk=113k（k+1）[（k+2）-（k-1）] =13∑nk=1[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）] =13n（n+1）（n+2）① 另一方面，Tn=∑nk=1k（k+1）=∑nk=1k2+∑nk=1k =Sn+12n（n+1）② 根据①②式，不难解出 Sn=∑nk=1k2=16n（n+1）（2n+1）. 推而广之，可以从Tn=1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）= ∑nk=1k（k+1）（k+2） =14∑nk=1[k（k+1）（k+2）（k+3）-（k-1）k（k+1）（k+2）] =14n（n+1）（n+2）（n+3）导出Sn=∑nk=1k3 …… 从Tn=∑nk=1[k（k+1）（k+2）…（k+m-1）] =…=1m+1n（n+1）（n+2）…（n+m） 中导出∑nk=1km.（至少理论上是这样） 三、在排列和组合中的应用 在含有排列数或组合数的一类问题中，常常用拆项相消法. 例1计算： （1）31！+2！+3！+42！+3！+4！+…+n+2n！+（n+1）！+（n+2）！ 分析（1）∵ak=k+2k！+（k+1）！+（k+2）！=k+2k！[1+（k+1）+（k+1）（k+2）] =1k！（k+2）=k+1（k+2）！ =k+2（k+2）！-1（k+2）！=1（k+1）！-1（k+2）！ ∴原式=∑nk=1ak=∑nk=1[1（k+1）！-1（k+2）！] =12-1（n+2）！. 四、在三角数列求和中的应用 在不少三角数列的求和问题中，拆项相消法也往往派得上用场. 例2求和： （1）Sn=tanθsec2θ+tan2θsec4θ+tan4θsec8θ+…+tan2n-1θsec2nθ （2）Tn=sinθ+sin（θ+α）+sin（θ+2α）+…+sin＼[θ+（n-1）α＼] 分析∵（1）ak=tan2k-1θsec2kθ= sin[（2k-2k-1）θ]cos2k-1θcos2kθ=tan2kθ-tan2k-1θ ∴Sn=tan2nθ-tanθ. （