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拆项相消法在高中数学中应用
拆项相消法在高中数学中应用 ?笛У谋局试谟凇肮叵怠庇搿靶问健?.“拆项相消法”或叫f(k+1)-f(k)法就是体现数量关系中的一种形式的转换.其理论是:若ak=f(k+1)-f(k).则Sn=∑nk=1ak= f(n+1)-f(1).拆项相消法实质是:先分解再组合, 即把一个数列的通项公式分成几项差的形式,再将所有项重新组合,相加过程消去中间项,只剩有限项求和.
例如,求式子 412?3+52?3?4+63?4?5+...+n+3n(n+1)(n+2)的和,由于
ak=k+3k(k+1)(k+2)
=k+2k(k+1)(k+2)+1k(k+1)(k+2)
=1k(k+1)+1k(k+1)(k+2)
=(1k-1k+1)+12[1k(k+1)-1(k+1)(k+2)].
从而Sn=∑nk=1(1k-1k+1)+12∑nk=1[1k(k+1)-1(k+1)(k+2)]
=(1-1n+1)+12[12-1(n+1)(n+2)]=n(5n+11)4(n+1)(n+2).
实际上,拆项相消法有其广泛的应用.
一、在求等差数列的前n项和中的应用
教材上是用所谓“倒序相加”来求等差数列的前n项和Sn的,可是,很少人去关注拆项相消法.
从等差数列的定义出发,为简单起见,不妨设a1-d=a0(d为公差).
因ak=12dak(ak+1-ak-1)
=12d(akak+1-
ak-1ak).
所以 Sn=∑nk=1ak=12d[(a1a2-a0a1)+(a2a3-a1a2)+...+(anan+1-an-1an)]
=12d(anan+1-a0a1)①
=12d(anan+1-ana1+ana1-a0a1)
=12d(annd+a1nd)=n(a1+an)2.
若在上述①式以后用an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd代入,可直接得到Sn=na1+12n(n-1)d.
二、公式12+22 +32 +…+n2=16n(n+1)(2n+1)的推导.
公式∑nk=1k2的推导,不是一件很简单的事.
卢正勇先生的《数学解题思路》(获“1987年全国优秀畅销书”奖)中介绍了一种利用恒等式(n+1)3-n3=3n2+3n+1迭加的求和方法.现在用拆项相消法:
一方面,Tn=1×2+2×3+…+n(n+1)
=∑nk=1k(k+1)=∑nk=113k(k+1)[(k+2)-(k-1)]
=13∑nk=1[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]
=13n(n+1)(n+2)①
另一方面,Tn=∑nk=1k(k+1)=∑nk=1k2+∑nk=1k
=Sn+12n(n+1)②
根据①②式,不难解出
Sn=∑nk=1k2=16n(n+1)(2n+1).
推而广之,可以从Tn=1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)= ∑nk=1k(k+1)(k+2)
=14∑nk=1[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)]
=14n(n+1)(n+2)(n+3)导出Sn=∑nk=1k3
……
从Tn=∑nk=1[k(k+1)(k+2)…(k+m-1)]
=…=1m+1n(n+1)(n+2)…(n+m) 中导出∑nk=1km.(至少理论上是这样)
三、在排列和组合中的应用
在含有排列数或组合数的一类问题中,常常用拆项相消法.
例1计算:
(1)31!+2!+3!+42!+3!+4!+…+n+2n!+(n+1)!+(n+2)!
分析(1)∵ak=k+2k!+(k+1)!+(k+2)!=k+2k![1+(k+1)+(k+1)(k+2)]
=1k!(k+2)=k+1(k+2)!
=k+2(k+2)!-1(k+2)!=1(k+1)!-1(k+2)!
∴原式=∑nk=1ak=∑nk=1[1(k+1)!-1(k+2)!]
=12-1(n+2)!.
四、在三角数列求和中的应用
在不少三角数列的求和问题中,拆项相消法也往往派得上用场.
例2求和:
(1)Sn=tanθsec2θ+tan2θsec4θ+tan4θsec8θ+…+tan2n-1θsec2nθ
(2)Tn=sinθ+sin(θ+α)+sin(θ+2α)+…+sin\[θ+(n-1)α\]
分析∵(1)ak=tan2k-1θsec2kθ=
sin[(2k-2k-1)θ]cos2k-1θcos2kθ=tan2kθ-tan2k-1θ
∴Sn=tan2nθ-tanθ.
(
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