巧用＂凹凸＂妙得最值——一个凸函数命题的探究和应用.pdf

第7期 吕孙忠，等：巧用 “凹凸” 妙得最值 ·23 · 巧 用 “凹 凸 妙 得 最 值 — — 一 个凸函数命题的探究和应用 ●吕孙忠 (北京师范大学研究生院 北京 100875) ●沈 亚 (杭州市第四中学 浙江杭州 310018) 。， ，… ， 中至少有k一1个为a或b，不妨设 。， 对于条“件为∑ =s，求∑f(x)的最值问 ， … ， 为a或b，a的个数为Z(其中0≤z≤ 题”一直是各类考试中的 “烫手山芋”．通常情况 k一1)，于是 下，可以利用Jensen不等式，求出凸函数的最小值 或者凹函数的最大值．但这种方法无法同时求出函 )≤ )+ 口)+(k一1一z)，(b)， i=1 数的最大值和最小值，因此很多人会束手无策．笔 k+1 者利用了一个凸函数命题，来解决这一类问题 ，并 从而 ∑f(xi)=∑ )+ )≤ 对此类问题作了适当推广． ^)+厂(+1)+tf(a)+(k一1一Z)，(b)， 命题 1 假设 )是定义在实数域[a，b]上 其中 IIS一 ^+1一z口一(k—Z一1)b．再将 +I视 的凸函数，实数 。， ，…， ∈[a，b]，且满 足 为 自变量，利用 当n=2时的结论，当，( )+ )取到最大值时， 或 中至少有 1个为a ∑ i=s，其中rta≤s≤nb．当且仅当 。，，…， i=l 或b，综上可得 。， ，…， 中至少有k个元素等 中至少有n一1个元素等于口或b，i：，(i)取到最’ 于a或b．即当n=k+1时结论成立，因此对一切正 整数 都成立． 大值；当且仅 当 = = … = =-兰-时， 求最小值时，根据凸函数的性质，利用Jensen ， 不等式即可，这里就不再赘述了． ：，()取到最小值． 注 命题 1中最大值的结论是文献 [1]给出 ￡=l 证明 求最大值时，可用数学归纳法证明．当 的，但文献 [1]仅给出了变量数为2时的证明．笔 n=2时，若S≤a+b，对于 1，2∈[a，s—a]，存 者结合文献 [1]中的结论和Jensen不等式，总结形 在参数O≤t≤1，使得 成了命题 1，并给出了变量数为 时的证明． 1=ta+(1一 )(s—a)， 命题2 假设 )是定义在实数域 [a，b]上 2：(1一 )a+t(S—a)． 的凹函数，实数 ，，：，…， ∈ [a，b]，且满 足 由Jensen不等式，可得 ∑ f=s，其中na≤s≤nb．当且仅当 1，2，…， 。)≤ ^(a)+(1一t)．厂(S—a)， 和 ：)≤ (1一f)．厂(a)+ ．(s—a)， 中至少有n一1个元素等于口或b，再： )取到最 从而