病态线性方程组的新解法_误差转移法.pdf

4 第笠卷第4期 华南农业大学学报 Vd22，No 0fsou血C11im 0吐2001 2001年10月 JouIn日l UIliveIsity A丹血Ldt啦al 文章编号：1∞1—411x(2001)04—0092—03 病态线性方程组的新解法：误差转移法 胡圣荣，罗锡文 (华南农业大学工程技术学院，广东广州510642) 摘要：提出了一种求解病态线性方程组的简便有效的新算法，它的主要思想是将直接求解法中的计算误差转移到 ～个中问量上，从而使得最终解获得很好的精度，因此可极大地缓解～般算法条件预优的困难以及病态方程组的 求解难度．数值计算的结果表明，算法对极其病态的线性方程组也可获得较好的精度和稳定性． 关t词：线性方程组；病态方程；误差分析 中围分类号：0241．6 文献标识码：A 对于线性方程组 表1计算解和误差 Aj=6， (1) 恤．1 NIⅡ州曲lⅨ捌∞and姑nm 其中A=[Ⅱi]为n×n非奇异矩阵，z、6为n维列向 量．当系数矩阵A的条件数很大时，计算中的舍人 误差常常造成解的巨大误差，这时方程组(1)为病态 方程组．常规的一些方法，如均衡处理、选主元法 等，对病态问题几乎无能为力．方程组的病态问题 严重影响了计算结果的准确性和可靠性，人们一直 在寻找有效的解法．现在已有的很多解法，如条件 预优法、迭代校正法、投影法、递推法、刚性常微分方 程法、遗传算法等等，从算法的简便性、有效性上看， 很多并不理想，如有的算法有效性较好但比较复杂； 有的算法实际上只能处理病态程度不太严重、问题 规模较小的问题，当问题的规模增大、病态程度加剧 时，解的精度会十分明显甚至急剧下降等等． 本文提出了一种求解病态线性方程组的新思 想，它不是主要依靠降低直接求解中的误差来提高 解的精度，而是将主要误差转移到另～中问量上，而 所需最终解有较好的精度，并给出了一个具体的算 法，整个过程仅仅用到了常规的均衡处理、选主元法等 技巧． 1|r0=0．2442E—14，这说明虽然计算解的误差很 1算法思想 大，但它却能比较准确地满足原方程组(1)，这一现 象可从事后误差估计式… 为介绍算法的思想，首先分析一个典型病态问 题(见后文例1)，取阶数n=20，采用常规列主元三角料刮A-l……I惴， (3) 分解法求解，计算结果列于表1，其中余量的定义为 得到解释：计算解的误差界不仅依赖于余量的大小， r=6一缸， (2) 还依赖于矩阵A的条件数，对病态问题，即使余量很 从表l可见，与准确解z={l，1，…J}7相比，计小，但条件数很大，所得解误差仍可能很大．本例的 算解一位有效数值都没有；但尽管如此，余量却很小， 系数矩阵为Hjlben矩阵，这是一个典型的病态矩阵， 收稿日期：2001一04—19 作者简介：胡圣蒙(1967一)，男，副教授，博士 基金项目：广东省自然科学基垒资助项目(994151) 万方数据 第4期 胡至荣等：病态线性方程组的新解法：误差转移法 5“【“，随阶数成指数增长， (86) 其谱条件数cond(以)2一e3 『(舭)毋=(Q6) 即