排列组合中的分类讨论思想.pdf

中学生数学 ·2009年 7月上 ·第 373期(高中) 排列组台中的分类讨论思想 思 浙江省诸暨市草塔中学数学组 (311812) 陈东升 路 排列组合问题联系实际，注重能力与应用 2．根据元素特征分类 岛 的考查 ，主要涉及之一为分类讨论 的思想．分 例 2 由1、2、3、4、5、6六个数可组成多少 类讨论是指在解决一个复杂 问题时，根据数学 个无重复且是 6的倍数的五位数? 万 对象的本质属性 的相同点和不 同点，将讨论 的 分析 6的倍数的数既是 2的倍数 ，又是3 法 对象分成若干相对简单的情况 ，然后对各种情 的倍数．其 中3的倍数又满足 “各个数位上的数 况逐个讨论，最终使整个问题得 以解决．分类 字和是 3的倍数”的特征．而且 6个数之和为 1 讨论的思想方法是研究与解决数学问题 的重 +2+3+4+5+6—21恰好是 3的倍数 ，要使 要思想方法之一 ，也是科学研究中最常用最基 得取得的五位数是 3的倍数 ，必须且 只须去掉 本 的方法之一 ，其思想在生活中、学习 中随处 一 个能被 3整除的数 3或 6．因此从 6个数中 可见．进行分类讨论时 ，首先应该明确分类 的 取 5个数，可分成两类讨论 ： 对象，对 同一 问题 ，不同的出发点和不 同的思 第一类 ：由 1、2、4、5、6作数码 {首先从 2、 维方式所选择的划分对象也不尽相 同，还要注 4、6中任选一个作个位数字有 A ，然后其余 四 意对象 的统一 ，不能一会儿 以这个对 象为标 个数字在其他数位上全排列有 Aj，所 以N 一 准 ，一会儿 以另一个对象为标准 ；其 次是选择 A ·A ； 分类的标准 ，要根据题 目要求及 已有 的知识 ， 第二类 ：由1、2、3、4、5作数码 依上方法有 具体情况具体分析 ，虽没有统一模式 ，但 必须 N 一A ·A ； 遵循不重复，不遗漏的原则． 故 N—Nl+N2—120． 由于分类标准不唯一 ，分类次序不 同，容 3．根据特殊元素个数分类 易发生混乱 ，甚至无p,-着手．本文就排列组合 例 3 从 10个不 同的作物中选 出 6种放 问题中产生分类讨论 的原因分析及讨论 的依 入 6个不同的瓶子中展 出，如果甲、乙两种种子 据，对有关分类方法进行系统、有条理 的归纳 、 不能放入第 1号瓶 内，那么不 同的放法共有 总结． 种? ●_ _-__。 。。。。 。。。。● -●_～ 一 、 根据元素分类 分析 本题更容易想到先从 10种不同的 1．根据特殊元素分类 作物种子中选 出6种 ，然后排列．由于选出的6 例 1 用 0、1、2、3、4这五个数字，组成没 种种子 中是否含 甲、乙不确定，导致后继排列 有重复数字的三位数 ，其 中偶数共有 个? 也不确定 ，这时就要根据选 出的6种种子中所 分析 由于该三位数都是偶数 ，故末尾数 含 甲乙种子个数来分类 ：选 出的 6种种子中只