椭圆型方程混合边值问题的一类高精度紧有限体积格式.pdfVIP

第 一 章 引言 偏微 分方程数值求解在计算数 学 的研 究领域 里 占有非常重要 的地位 ，除 了有 限体积 元方法 (FV E M ) 之外，还包括有限差分方法 F（D M )，有限元方法 F（E M ) 等.最早 出 现 的是有 限差分法 ，该方法直接用差商代 替微 商导 出计算格式 ，简单 易算 ，但对于复杂 区 域和复杂边界 问题计算效果不好. 有 限元法是 20 世纪 50 年代提 出的求解偏微分方程 的 另一种方法 ，它不 同于传统 的有 限差分方法. 有限元法是基于变分原理 ，从微分方程 的变 分形式 出发,对求解 区域作剖分 ，通过选取试探 函数空 间和检验 函数 空 间来导 出计算格式. 该方法对 复杂 的不规则 区域 亦能很好地求解 ，这在 一定程度上 弥补 了有 限差分法 的缺 陷， 而且能够保持物理量 的全局守恒性 ，但局部守恒性有 时并不能保持,而且所得格式计算量 大. 标准 的有 限体积法在一 定程度 上克服 了有 限元法 的这种缺 陷，特 别是在 力学上 ，那些 由物理守恒 定律 导 出的 问题 ，该方法更为 实用 .有 限体积法从 原方程 的积分 守恒形 式 出发 离散方程 ，在控制体积边界上用差分进行导数逼近 ，导 出计算格式. 虽然有 限体积方法能 保 持物 理量 的局部和全 局守恒性 ，但控 制体积 上 的简单 逼近 在某种程度 上 又 限制 了该方 法 的有效性 ，而 且 收敛性分析依赖 于截 断误差分析, 这往往 是 比较 困难 的 有 限体积元方法作为偏微分方程 的离散方法 ，首先将计算 区域进行 网格剖分和对偶 网格剖分 ，其 中对偶 网格单元称为控制体积 ；其次 ，在控制体积上对微分方程进行积分 ， 导 出微分方程 的积分守恒形式 ；最后 ，选 取试探 函数 空 间为线性或高次有 限元子 空 间离 散 积分 守恒形 式 导 出计 算格 式 . 有限体积元方法在 国外早期被称为盒式方法 ， 随后逐步采用 了现在 的名字 ，或简 称为有 限体积方法 在 国内，该方法被称为广义差分方法 。以李荣华教授和 陈仲英 教授为代表 的中国学者对广义差分方法进行 了深入细致 的研 究工作 ，初步建立 了广义差 分方法 的理论分析框架 ，一些 主要 成果 收录在 他 们和吴微教授 合作 的专 著 中 线性有 限体积元方法 已有非常多 的研 究工作 ，仍在 不断发展之 中 高 阶有 限 体积元方法更是成为 目前 国内外研究的热点. 李荣华教授等 _ 在他们的著作 中给出了 一些 高 阶方法 ，许进超 和邹青松教授 进 一步发展 了有 限体 积元方法 收敛性 分析 的理 论框架 ，Zhiqiang C ai, Jim D ouglas 等 通过混合变分原理建立 了一类高 阶有 限体积元 方法 ，P lexousakis and Zouraris[i9] 对于一维椭 圆边值 问题导 出了一类高阶方法 ，杨昊 给出了一些具有对称性 的二阶有限体积元格式，Long C hen [2il通过混合高阶有限元空 间和线性 有 限体积元 空 间给 出了一类 高 阶有 限体积 元方法 . 王 同科 等 和李永海等 I26一 各 自提 出了基于插值导数超收敛点 在（力学上称为应力佳点 ）的高阶有限体积元方 法 ，这些方法在应 力佳 点处具 有天然 的梯度超 收敛性 . 王 同科等 还证 明了二次元 格式 在插值 节点处还具有位移超 收敛性 ，达到 了和有 限元方法 同样 的计算效果. 从应力佳 点 的角度看 ，目前广泛 使用 的线性 有 限体积 元方法 一（维 线性 元 、二 维矩 形 双 线性 元 ，二维 基 于外心对 偶剖分 的三 角形线性 元 ）均 具有某种 形式 的超 收敛性 ，许 多学 者也对 此进 行 1 r 了研 究 伹传统 的高 阶有限体积元方法通 常不具有超 收敛性 ，基于应力佳 点 的髙 阶有 限体积元方法在基本不增加计 算量 的前提下得到 了更高 的计算精度 ，具有 良好 的应 用 前 景 .