坐标系与其变换-完成.ppt

3.相对变换 如上所述，一个齐次坐标可分解为平移及旋转变换，根据这些平移和旋转是相对什么坐标系去实现的，就导出了不同相对变换的概念，前面只提及相对于参考系的变换，实际上还可相对于变换过程中当前坐标系来实现变换。 (2)坐标系前乘变换或后乘变换的相对变换 设C是以齐次坐标矩阵表示的坐标系，T是由若干平移、旋转变换因子按一定顺序组成的变换。显然TC及CT将得到完全不同的变换结果，原因是坐标系C所作的相对变换不同。 1) 坐标系C前乘（左乘）变换时，得到的TC是C始终相对于同一参考系的变换，变换的动作顺序由T的最后（最右）因子开始，以最前（最左）的因子结束其变换。 2) 坐标系C后乘（右乘）变换时，得到的CT是C相对于不同当前坐标系的变换，变换的动作顺序由T的最前（最左）因子开始，以最后（最右）的因子结束其变换。 TC与CT导致不同变换的结果与矩阵乘法不服从交换律的性质是一致的。 4. 逆变换 5.一般旋转变换 6. 等效旋转轴及等效旋转角 * * (1)坐标系的相对变换 相对于参考系的相对变换——始终相对于一 个相同的参考系的变换 2)相对于当前系的相对变换——每个平移、旋转 变换始终相对于当前坐标系（每个当前坐标系 均不同）。 【例2.4】给定一坐标系 及一变换 T= 试确定C相对于参考系的变换 X=TC及C相对于当前系的变换Y=CT。 解：相对于参考系的相对变换为：X=TC 其变换的动作顺序为先旋转后平移。相对于当前系的相对变换为：Y=CT 其变换的动作顺序为先平移后旋转。 将被变换坐标系变回到原来的坐标系时，可以用变换T的逆 来实现。 例如X=TC使C变换为X，若用X求C则为 给定变换T为 则T的逆阵为 (2-14) 式中 p、n、o、a表示T的各列矢量；” ”表示二矢量的数量积。 所谓一般旋转变换，即其旋转轴线不与参考系任何轴线重合，而是参考系中某一矢量，这一矢量的方向用其上的单位矢量。 表示。 为了导出一般旋转变 的计算公式，设 是一个坐标系C中轴 的单位矢量，一般坐标系为 C = (2-15) 其中轴 的单位矢量为 这样，绕矢量 旋转就等于绕坐标系C的 轴旋转，即 (2-16) 图2-12 一般旋转变换 如图2-12所示，被旋转的坐标系为 ,该系以坐标系 为参考系记为Y, 以坐标系C为参考 系时记为X(注意：X、Y均为 坐标系 )。Y与X 的关系为 或 (2-17) 绕 旋转Y等效于绕坐标系的C的 轴旋转X，即 (2-18) 式中的 表示将 变换到与左端 相同的参考系中去，否则(2-18)的等式不成立。 将(2-17)式代入(2-18)式，得 因此 现将此式展开，并利用C矩阵的正交性对展开式 进行整理，得到一般旋转变换的计算公式为 (2-19) 式中 — 一般轴的单位矢量的3个方向的分量， 即(2-15)式中的 ； V— 的缩写，通常为正矢； S— 的简写； C— 的简写； 由(2-19)式可见，一般旋转变换在 角不变时， 它仅仅是矢量 的函数， 绕坐标轴的 旋转变换仅是一般旋转变换的特例。例如绕坐标轴的 旋转变换 ，其 ，将这些值 代入(2-19)式，得 它与(2-13)式完全一致。 对于一个任意给定的旋转变换，可以利用(2-19)式求 出绕等效旋转轴 、等效旋转角为 的等效变换。 设给定的旋转变换R为 R = 使R式与(2-19)式相等，得 (2-20) (2-20)式两端矩阵的对角线元素分别相加，仍然相等， 故有 (2-21) 利用 及 ，得 (2-22) 由此解出等效旋转角 的余弦为 (2-23) (2-20)式两端矩阵非对角线上对称元素相等，得 (2-24) 由此解出等效旋转角 的正弦为 (2-25) 规定 在 中选取，故上式取正值，因而等效 旋转角 唯一地按下式确定： (2-26) 等效旋转轴矢量 的分量可用(2-24)式确定： (2-27) 利用(2-27)式解矢量 ，当 很小可能导致单位矢量 的模大于1，这时需要对 进行标准化： 当 接近于 时，(2-27)式的计算精度变得越来 越差。实践表明，当 时需另求计算公式： 仍然利用(2-20)式，可得 (2-28) 式中 —符号函数，当括弧内差值为正时取正号， 否则取负号。 *