非方阵范数最优化问题的光滑化算法.pdfVIP

 第一章绪论 第 一 章 绪论 1.1 背景介 绍 近年来 ，随着科 学技 术 的不 断发展 ，矩 阵范数最优化 问题 也在越 来越 多 的领 域被提及，例如并行磁共振成像 图像重建 的范数优化 问题 [28],通过釆用不 同矩 阵 范数 意义下 的 目标 函数 ，即在不 同的范数 空 间中重建 图像,构成 了不 同范数 意义 上 的矩 阵最优 化 问题 .另有 系统辨 识与控 制 ，欧式嵌入 ,协 同过滤等都可 以转 化 为 矩 阵范数 最 优 化 问题 .研 究者解 决 了各种 各样 的特 殊 问题 的 同时,不 时地会 有 新 的 问题 被 提 出. 在众 多 的范数 最优 化 问题 中，有关 二 范数 的讨论 最 多.对 于对称 矩 阵，二 范数 最优 化 问题 可 以看 成 是 最大特 征值 的极小化 问题 ，即 ： m m in Aniax(為 + 〉、 ， (1.1) x e K ！: 1 其 中变量/1 丨e cS?,? : 0,1, ,m 为对称矩 阵? 上述 的特征值 问题可 以归结为具有线性矩 阵不等式 (LM I)约束最优化 问题 的 特例 . 下面我们对其做 简单 的介绍.20世 纪70年代初 ，线性矩 阵不等式 (LM I)开始 被广泛用来解 决系统与控制 中的一些 问题 .20世 纪80年代，//oo控制 问题 的提 出和 研 究更加促进 了线 性矩 阵不等 式 的研 究和 发展 ，许 多实 际 问题 复杂性 的增 加 ，不 可 能直接给 出 问题 求解 的解 析表达 式 ，但 是 却可 以将 问题转化为L M I求解 ，从而 可 以利 用现 有 的各 种 优 化 方 法. 所 以L M I的求 解 在 控 制 系 统 的分析 ，设计和 系 统 辨识 中扮演着一个重要 的角色. 线性矩 阵不等式 (LM I)具有如下 的形式： m F {x) Fq + Y , x,F, y 0. (1.2) i l 其中，F, F [ e 为给定的对称矩阵，r: G R ? 称为决策变量.具有 1（.1)形式 的矩 阵不等 式称 为严 格L M I;当 F {x) 0 时称 为 非严 格 L M I. - 1 -  第一章绪论 我们将 最优 化 问题 （1.1) 重 写成如 下形式 ： m in t m . (1.3 ) S.t. (A q +  0, 这 是一个具有非严格LM I约束 的最优 化 问题 .对一般 的线性矩 阵不等式 问题 ，可 以将其列成一个 凸优化 问题 ，并釆用 凸优化技术来进行数值求解 [20]. 内点法为 线性 矩 阵不等 式 问题 的求解 提 供 了有 效 的算 法 . 随着M A T L A B 软件 中L M I工 具箱 的推 出，线性矩 阵不等 式这 一 工 具越来越 受 到人们 的注 意