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非紧积分算子特征值数值 解法的若干研究 姓名：黄晓圆 指导教师：隆广庆教授 学科专业：应用数学 研究方向：计算数学 年级：2011级 摘要 本论文主要研究一类非紧积分方程特征值问题的高阶收敛数值算法. 文章分 别给出含有弱奇异核的积积分算法, 全离散积积分算法和积拟插值算法, 并且成功 的将算法推广到求解特征值问题中. 全文分为四章： 第二章, 我们致力于讨论含有弱奇异核的非紧积分算子的积积分法. 积积分法 也是插值数值算法, 结合Nystrom¨ 算法和分片多项式插值, 通过一个低秩矩阵来逼 近原先的矩阵进行算子逼近的数值求解, 从而对含有弱奇异核函数的特征值问题 惊醒谱逼近, 获得特征值误差为hr , 这里r为逼近子空间分片多项式的最高阶数. 经过建立此类积分方程的理论框架, 对其算法收敛性进行分析证明, 获得O(hr )的 收敛阶. 第三章, 主要讨论该非紧积分方程以多项式作为基地的全离散积积分算法. 离 散积积分法是适当的选取数值积分公式, 将积积分法进行离散性的描述. 由于在讲 积积分法运用到Nystrom¨ 法中, 进行具体的数值计算时, 系数矩阵中每一项都含有 积分, 对这些积分的数值计算的精度直接影响到积积分法所求逼近解的精度. 因此, 本文通过选取Gauss − Legendre节点, 利用高精度的数值积分进行求解, 并且通过 算法收敛性的分析证明, 获得max{hr , m−d }的收敛阶. 第四章, 主要通过构造弱奇异非紧积分算子特征值问题的积拟插值法. 首先介 绍变量光滑化方法, 然后采用样条积拟插值逼近算子方程, 可获得O(hm )阶的特征 值误差, 这里h是剖分的最大步长, m为分片多项式的最高次数. 关键词: 特征值问题, 积分算子, 积积分法, 全离散, 积拟插值法, 非紧. iv This paper focus on the optimal convergence of numerical solutions for non- compact integral equations eigenvalue problem with weakly singular kernel. We propose the product integration methods for the weakly singular integrals, discrete product integration methods and product quasi-interpolation method. And these methods are utilized to solve the eigenvalue problem. The paper is organized as follows: In chapter 2, We consider the eigenvalue problem of a class of non-compact linear operators given as the sum of a multiplication and a kernel operator. We focus on addressing critical issues with weakly singular kernel integral operator. It is shown that such operator can be approximated base on product integration method. This leads to an ap