基于对数极坐标与对称循环矩阵的形状特征描述.pdf

宋瑞霞等：基于对数极坐标及对称循环矩阵的形状特征描述 标图像进行Fourier变换，克服这种 循“环平移”现象带来的影响；文献 9『1在纹理分类中，将对数极坐 标表示与小波变换相结合，通过小波包变换 自适应地进行图像的行平移，消除这种 循“环”现象，然后 用小波系数得到图像特征，进行纹理特征分类．这些方法针对灰度图像，无论是数字水印、图像配准还 是纹理分类都取得 了满意的结果． 形状通常表示为二值 图像，这个二值 图像的边界就可 以表示形状的轮廓，若要识别一个形状可 以 仅对图像的边界进行描述．在形状检索问题中，文献 [101提出的形状上下文算法，在对数极坐标下利 用直方图对轮廓采样点分布情况进行描述，具有较好的识别精度；文献 f11]在对数极坐标系下引入二 维模糊隶属度函数，利用采样点分布的模糊划分结果建立直方图，得到形状匹配算法；文献 f12]直接 利用形状轮廓点在极坐标下的分布直方图得到有效的形状检索算法．这些算法都是通过边界点的分布 直方 图来获取形状特征，这是一类统计特征，虽有较好的准确率，但计算量比较大．本文针对形状的边 00 n1 界信息，在对数极坐标表示的基础上，将每个形状与一个对称循环矩阵对应起来．首先证 明关于对称 循环矩阵的特征值的一个性质，然后利用这个性质来描述形状的特征，这种形状特征的描述具有 TRS 们 ∽ 不变性，且计算复杂度低，由此得到一种形状检索的新算法．实验结果表 明，该算法对非刚性形变有较 强的鲁棒性，且计算简单，有快捷 的运行速度． 2 对数极坐标和对称循环矩阵 首先介绍本文用到的两个数学理论 2．1 对数极坐标 在直角坐标系下的点 (，)，其指数表示为 (X，Y)=re，对数极坐标为 (in )，其中-厂= _= ， =arctan兰．由于对数函数具有性质ln(ab)=lna+lnb，因此，当点(，)的径向量放缩0倍，并经过 角度的旋转后，其指数表示为 (X，Y)=arei(+ ，对数极坐标为 (inr+Ina，+ )，即在对数极坐标系 下，点 (Inr，)平移到了点 (inr+Ina，+ )．对数极坐标的这个特性用于图像表达，则相当于把图像 的放缩和旋转转化为对数极坐标下的平移，这在追求放缩旋转不变性的问题上将带来极大的方便． 2．2 对称循环矩阵 矩阵 ’ an一2 ‘ 0n一1 A = ao ’ an一3 称为 n阶对称循环矩阵，其特点是矩阵由第一行的元素完全确定，第 i(i=1，2… ．，n)行是将第 i—l 行的第一个元素移到最后所得，这是一个对称矩阵，记作 A(a0，a1… ．，an-1)，我们称 (ao，a，… ，a一1) 为这个循环矩阵的生成元． 关于对称循环矩阵的特征值，文献 [13]证明了如下引理 1的结果． 引理 1 设A是 n阶实对称循环矩阵，，(z)=En--01aiz，盯是 l的n次单位根，则 816 中国科学 ：数学 第 44卷 第 7期 (1)当佗是奇数时，A 的n个实特征值为 ，(1)，士I．厂( )，『=1，2… ．， ； (2)当凡是偶数时，A 的佗个实特征值为 ．厂(1)，，(号)，士I，(盯)l，k=1，2…．，罟一1． 利用上述引理 1，我们来证明关于对称循环矩阵的一个重要结论，我们将其叙述为引理 2． 引理 2 设有两个 n阶对称循环矩阵A(ao，n1… ．，a一1)和B(a1，02… ．，a一1，ao)，即B 的生成 元是 A 的生成元的一次循环，则 (1)当n是奇数时，A与 B有相同的特征值；