Couette-Taylor流三模系统的混沌行为与其仿真.pdf

数学物理学报 http：／／actams．wipm．ac．cn Couette—Taylor流三模系统的混沌行为及其仿真 王贺元 (辽宁工业大学理学院 辽宁锦州 121001) 摘要：研究了旋流式 Couette—Taylor流三模态类 Lorenz系统的动力学行为及其数值仿真问 题．给出了此系统平衡点存在的条件，证明了其吸引子的存在性，给出了吸引子的Hausdorff 维数上界的估计，数值模拟了系统分歧和混沌等的动力学行为发生的全过程，基于分岔图与最 大 Lyapunov指数谱和庞加莱截面以及功率谱和返回映射等仿真结果揭示了此系统混沌行为 的普适特征． 关键词：Couette—Taylor流；吸引子； Hausdorff维数． MR(2010)主题分类：34C75；93D05；49J15 中图分类号：0175．14 文献标识码：A 文章编号：1003—3998(2015)04-769—11 1 引言 国内外众多学者对同轴圆柱间旋转流动 Couette—Taylor流问题的复杂动力学行为进行了 大量深入的研究 [1-s]，这种流动存在着多种演化到湍流的方式，提供了从层流到湍流过渡非 常好的例子．目前的研究主要是利用分歧理论来解释和分析实验中观察到的流动发展到湍 流前的各种涡流及其相互演化的过程，以及从层流过渡到湍流的方式及仿真等，而对流动发 展到湍流之后混沌吸引子的存在性及仿真等 问题 目前很少有文献涉及。由以往的实验研究 可知，随雷诺数的增大，这种流动最终总要演化成湍流的，也就是说混沌总是要发生的，所 以探讨其混沌吸引子的存在性问题不但在理论上有价值，而且在实践上也有直接意义．文献 1『1将Lorenz截断法用于Couette—Taylor流问题，给出一些理论结果，或许是模态过于简单 而且任意，文献 [1]并没有发现混沌现象．文献 [2]运用特征谱方法截取了一个三模系统，讨 论了系统的动力学行为．本文研究了与此三模系统类似的新三模系统，给出了系统平衡点存 在的条件，讨论了其奇怪吸引子的存在性，给出其 Hausdorff维数上界的估计，数值模拟了 系统阵发混沌、倒分叉和滞后现象等动力学行为发生的全过程，数值仿真了系统的分岔图、 最大 Lyapunov指数、庞加莱截面、功率谱以及返回映射等，从而揭示了此系统混沌行为的 普适特征． 收稿 日期：2014—0％10；修订 日期：2015—02—12 E—mail：wangheyuan6400@sina．com 基金项 目：国家自然科学基金 和锦州市科技专项基金 (13AID32)资助 770 数 学 物 理 学 报 V0l1．35A 2 三模态系统的平衡点及其吸引子的存在性 二 其中状态变量 ，Y，均为时间t的函数，a，b，C，为常系数，r0为实参数，这里我们省 略了此系统的截取过程．显然 So=(0，0，0)是其平衡点，关于 sb的稳定性问题有下面的结 论． 定理 1 当r 时，系统 (2．1)的零平衡点 So一(0，0，0)稳定；当r= 1时此系统的 零平衡点So为临界点；当r 此系统的零平衡点So不稳定． 证 系统 (2．1)在零平衡点 (0，0，O)处的特征多项式为 0 r 0 一 O 0 + =