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9.4 数量值函数的曲面积分（第一类 曲面积分） 小结 2．第一类曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算. （按照曲面的不同情况投影到三坐标面上） * 由丁春梅制作 第九章 曲线积分与 曲面积分 9.4.1 第一类曲面积分的概念与性质 9.4.2 第一类曲面积分的计算方法 9.4.1 第一类曲面积分的概念与性质 物质曲面的质量问题 设 质曲面，其面密度为 为面密度非均匀的物 ，求其质量 ． 把曲面 分成 个小块? ( 曲面的面积),在 也代表 上任取一点 ,则质量 的近似值为 设 是各小块曲面 的直径的最大值，当 时，若面密度函数 在曲面 上连续，那 么对上式取极限可得质量 的精确值，即有 定义 设曲面 是光滑的，函数 在 上有界，把 任意分成 小块 ( 也代表曲面的面积)，在 上任取一点 作乘积 并作和 .如果当各小块曲面的直径的最大 值 时极限 此极限为数量值函数 总存在，则称 在曲面 面积分，记作 上的曲 即 (1) 其中 称为被积函数， 称为积分曲面， 称为曲面的面积元素． 数量值函数的曲面积分也称为第一类曲面积 积分或对面积的曲面积分(下文中采用第一类 曲面积分这一名称)． 如果 为封闭曲面，常将 写成 ． 类似定积分的存在条件,若函数 在光滑 曲面 上连续，则曲面积分 在的，今后总假定 是存 在 上连续． 根据上述定义，本节开始提到的面密度为连续 的光滑曲面 的质量 可表示为 在 上对面积的曲面积分? 曲面积分有以下性质： (1) 设 、 为常数，则 (2) 若曲面 可分成两片光滑曲面 及 规定函数在 则 上对面积的曲面积分等于函数 在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和 (3) 设在曲面 上， 则 (4) 其中 为曲面 的面积． 4.2 第一类曲面积分的计算方法 如果光滑曲面 由方程 给出， 在xoy 面上的投影区域为 (图9-10) ， 函数 在 上具有连续的偏导数，函数 在曲面 上连续，那么由第八章第四节可知 ， 的面积元素为 而在 平面上 所以得 曲面 因此光滑曲面 的面密度为 其质量元素为 时， 根据元素法，曲面 的质量为 即 (3) 所以,曲面积分的计算是把曲面积分化为二重 (2) 给出， 在 面上的投影区域为 函数 在 上具有连续偏导数，被积函数 在 上连续，则 如果积分曲面 的方程为 为 在 面上的投影区域，则函数 在 上的第一类曲面积分为 积分来实现的．即设曲面 由方程 上的第一类曲面积分为 例1 计算 其中曲面 是球面 在第一卦限中的部分. 解 由于 所以 如果积分曲面 的方程为 为 在 面上的投影区域，则函数 在 例2 计算 其中 是球面 解 曲面 可向平面 投影，这时 由公式(3)得 且计算得 在 上， 因此 面上的投影区域均为 它们在 须分为上下两片 和 同理可计算得 ，于是 故 1．第一类曲面积分的概念; 注意：一代、二换、三投影． *