可逆线性变换.pdf

第21卷第 1期 甘肃联合大学学报 (自然科学版) Vol_21No．1 2007年 1月 JournalofGansuLianheUniversity(NaturalSciences) Jan．2007 文章编号：1672—691X(2007)01—0023．03 线性变换可逆的充要条件 高艳春 (宁夏大学 数学计算机学院。宁夏 银川 750021) 摘 要：线性变换是线性代数的一个主要研究对象，也是最基本的一种变换，其中可逆线性变换又是线性变换 的重要组成部分，本文从多个角度讨论可逆线性变换，得到线性变换可逆的十三个等价命题，从而对可逆线性 变换有比较全面的理解． 关t词：基I可逆线性变换I充要条件 中圈分类号：0151．2 文献标识码：A a(lel+ 2e2+…+ )；0，等式两边用a-1作 l 线性变换可逆的等价命题 用 ，●●●●● 设 是数域 P一个 维线性空间，令 a是V a—a(1el+ 2e2+ … + kn~)一 a一 (O)=；=0， 的一个线性变换 ，￡。，e。，…，e是V 的一个基，若 即 线性变换 a关于基 ￡，e。，… 的矩阵为A，则以 1el+ k2e2+ … + e = 0． 下命题是等价的． 由于el，￡2’．．·，e线性无关，从而k1=k。一 · (1) 线性变换a可逆； k一O，所以口(￡1)，口(e2)，…，a(e)线性无关． (2)[ 基象组a(e1)，a(e2)，…，a(e)线性无 故命题(2)成立． 关 ； (2) (3)． (3)[2] a(e1)，a(e2)，…，a(e)是 V 的一组 设a(e)，a(e)，…，a(￡)线性无关 ，因为维 基； ． (V)=，l，而V 中任意 个线性无关的向量都是V (4) a在V 的任一组基下的矩阵A是可逆 的基，从而a(E1)，a(e2)，…，a(￡)是V的一组基． 的； ‘ 故命题(3)成立． (5) a(V)一V； (3) (4)． (6) A的秩= ； 设a(e1)，a(e2)，…，a(e)是 V的一组基 ，且 (7) a是满射； (a(e1)，a(e2)，…，a(e))一 (e1，e2，… ，e)A， (8) 口-1(O)一 {0)； 即 (9) a的零度一0； alle1+ d2le2+ + al￡ (10) a是单射； al2el+ az2e2+ + 口ze (11)c。 存在一个常数项不为零的多项式 ， ()使厂(A)===o； 口lel+ a2e2+ + a e． (12) 若V 与V。是V的两个子空间，且V 由于基向量是线性无关的，所以上式表示法 =V 0V2，则V=a 0 a ； 惟一，从而系数行列式 lA f≠0，即lAl≠0，所以 (13)C] A的特征值全不为