第七讲 分析、代数和几何.ppt

第七讲: §2.6－2.8分析、代数与几何 分析的严密化 代数学的新生 几何学的变革 分析的严密化 分析：关于函数的无穷小分析 问题：第二次数学危机 核心：函数、无穷小 贡献：柯西(法, 1789-1857 ) 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897) 分析的严密化－－函数 初等函数 分析的严密化－－算术化 1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)定义了导数、连续 1821年柯西(法, 1789-1857)《代数分析教程》定义了极限、连续、导数 分析的严密化－－实数理论 1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)提出确界原理 1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出聚点定理 1821年柯西(法, 1789-1857)提出收敛准则 19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出单调有界原理 1872年海涅(德, 1821-1881)和1895年波莱尔(法, 1871-1956)提出有限覆盖定理 分析的严密化 分析的严密化 分析的严密化－－集合论 1874年起康托(德, 1845-1918)一系列论文建立 代数 突破传统 方程与根 行列式与矩阵 数系扩张 数论 代数－－代数方程 1799年高斯(德, 1777-1855)代数基本定理 代数－－代数方程根式解 1770年拉格朗日(法, 1736-1813)的预解式 代数－－行列式与矩阵 1750年克莱姆(瑞, 1704-1752)法则 1772年范德蒙(法, 1735-1796)、拉普拉斯(法, 1749-1827)行列式展开定理 1815年柯西(法, 1789-1857)行列式乘法定理 1841年凯莱(英, 1821-1895)行列式记号、1841年雅可比(德, 1804-1851)行列式 1852年西尔维斯特(英, 1814-1897)惯性定理 1854年和1878年埃尔米特(法, 1822-1910)和弗罗贝尼斯(德, 1849-1917)使用和定义了正交矩阵 1858年凯莱证明了凯莱-哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定理 1870年若尔当(法, 1838-1921)建立了若尔当标准形 1879年弗罗贝尼斯(德, 1849-1917)引入矩阵的秩 代数－－行列式与矩阵 代数－－数系扩张 1837年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)表示复数为有序实数对 1843年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定义了四元数 1844年格拉斯曼(德, 1809-1877)引进了n个分量的超复数 1847年凯莱(英, 1821-1895)定义了八元数 代数－－数论 18世纪 1736年欧拉(瑞, 1701-1783)证明了费尔马小定理 1742年哥德巴赫(德, 1690-1764)猜想 1770年华林(英, 1734-1798)定理 1783年欧拉发现二次互反律 代数－－解析数论 1737年欧拉(瑞, 1701-1783)恒等式 代数－－数论 代数－－邮票 代数－－邮票 代数－－邮票 代数－－邮票 代数－－邮票 几何 现实空间与思维空间 射影几何 非欧几何 统一的几何 几何－－射影几何 1799年蒙日(法, 1746-1818)的《画法几何学》 几何－－射影几何 综合方法 几何－－射影几何 代数方法 几何－－欧氏几何 平行公理的研究(公元前3世纪至1800年) 几何－－非欧几何 1826年罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856) 几何－－非欧几何 几何－－非欧几何 几何－－非欧几何 几何－－非欧几何 1854年黎曼(德, 1826-1866)几何 几何－－非欧几何 模型与相容性 几何－－非欧几何的模型 几何－－统一的几何学 1872年克莱因(德, 1849-1925)的《爱尔朗根纲领》 1866年贝尔特拉米(意, 1835-1900) 1871克莱因(德, 1849-1925) 1882年庞加莱(法, 1854-1912) 伪球面 曳物线 克莱因-庞加莱圆 * 狄里克雷函数 处处不可微的连续函数 解析函数 1837年狄里克雷(德, 1805-1859) 1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了有界函数的积分 1870年海涅(德, 1821-1881)定义了一致连续 19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出ε-δ语言 1875年达布(法, 1842-1917)提出了大和、小和 1872年戴德金(德, 1831-1916)提出分割理论 1892年巴赫曼(德, 1837-1920)提出区间套原理 波尔查诺 (捷克斯洛伐克，1981） 波尔查诺 魏尔斯特拉斯 狄里克雷 柯西 海涅