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第六章 量纲分析和相似原理 6-1由实验观测得知，如图6-1所示的三角形薄壁堰的流量Q与堰上水头H、重力加速度g、堰口角度θ以及反映水舌收缩和堰口阻力情况等的流量系数m0（量纲一的量）有关。试用π定理导出三角形堰的流量公式。 解： 选几何学的量H，运动学的量g作为相互独立的物理量，有3个项。 ，， 对，其量纲公式为 ， 解出，，则可得 对，其量纲公式为 ， 联立解上述方程组，可得,,，则可得 对，其量纲公式为 ， 联立解上述方程组，可得,,，则可得 即 或 式中，要视堰口的实际角度而定，量纲一的量要由实验来确定。 第十章三角形薄壁堰的理论分析解与上式形状相同。 6-2 根据观察、实验与理论分析，认为总流边界单位面积上的切应力τ0，与流体的密度ρ、动力粘度μ、断面平均流速v，断面特性几何尺寸（例如管径d、水力半径R）及壁面粗糙凸出高度Δ有关。试用瑞利法求τ0的表示式； 若令沿程阻力系数，可得。 解： 将上式写成量纲方程形式后得 根据量纲和谐原理可得： 选为参变量，联立解上述方程组可得：，，。 将上面求得的指数代入指数乘积形式的关系式可得： ，又因,故 若令，代入上式可得 6-3试用π定理求习题6-2中的τ0表示式。 解： 选取d、v、ρ为基本物理量，因此有三个π项 先求π1，其量纲式为 解上述方程组可得：，所以有 再求π2，其量纲式为 解上述方程组可得：，，，所以有 再求π3，其量纲式为 解上述方程组可得：，，，所以有 由此可得量纲一的量所表达的关系式为 或，或 若令，则可得 6-4文丘里管喉道处的流速v2与文丘里管进口断面管径d1、喉道直径d2、流体密度ρ、动力粘度μ及两断面间压差Δp有关，试用π定理求文丘里管通过流量Q的表达式。 题6-4图 题6-4图 解： 选取d2，v2，ρ三个基本物理量，有三个π项。 先求π1： 解上述方程组可得：，，，所以有 再求π2： 解上述方程组可得：，，，所以有 再求π3： 解上述方程组可得：，，，所以有 由此可得 或 上式与用伯努利方程推导的结果基本相同，上式中的，可由实验及理论分析进一步确定。 6-5根据对圆形孔口恒定出流（如图所示）的分析，影响孔口出口流速的因素有：孔口的作用水头H（由孔口中心到恒定自由液面处的水深）、孔口的直径d、液体的密度ρ、动力粘度μ、重力加速度g及表面张力系数σ。试用π定理求圆形孔口恒定出流流量表示式。 解： 选取H，v，ρ三个基本物理量，有四个π项。 先求π1： 解上述方程组可得：，， 再求π2， 解上述方程组可得： 再求π3， 解上述方程组可得： 再求π4， 解上述方程组可得： 由此可得 或 上式中的及分别为雷诺数及韦伯数的形式，所以可以写成 因流量，所以 如果令为孔口流量系数，则可得 由上式可知，Q与成比例，且流量系数与、雷诺数Re、韦伯数We有关，为深入研究找到了途径。 6-6 圆球在实际流体中作匀速直线运动所受阻力FD与流体的密度ρ、动力粘度μ、圆球与流体的相对速度u0、圆球的直径d有关。试用π定理求阻力FD的表示式。 解： 选取d、u0、ρ为基本物理量，有二个π项。 先求π1 解上述方程组可得：，所以有 再求π2， 解上述方程组得：， 由此可得 或 令圆球在u0方向的投影面积，而令绕流阻力系数，则有 上式中的绕流阻力系数CD与雷诺数Re有关，可以对此作进一步的研究。 6-7用20℃的水作模型试验，确定管径为1.2m煤气管的压强损失。煤气的密度ρ为40kg/m3，动力粘度μ为0.0002，流速为25m/s。实验室供水能力是0.075。问模型该用多大比尺？实验结果如何转换成原型的压强损失？ 解：可考虑按雷诺准则设计模型，。 流量比尺λQ，因受供水能力限制，需小于或等于0.075，所以应为 粘度比尺，20℃水的 煤气的，所以 所以，可选取模型长度比尺。注：也可按自模区设计模型，在满足几何相似的条件下，选取模型尺寸，使其在现有供水情况下进入阻力平方区。 实验结果转换成原型的压强损失为 6-8有一管径dp=15cm的输油管，管长lp＝5m，管中通过的原油流量Qp＝0.18m3/s。现用水来作模型实验，设模型与原型管径相同，且两者流体温度皆为10℃（水的运动粘度νm=0.0131cm2/s，油的运动粘度vm=0.13cm2/s），试求模型中的通过流量Qm。 解：原型中的流速 原型中的雷诺数 105 已进入自模区，只要使模型中的雷诺数≥105，且原型和模型几何相似即可。 则 ≥105， ≥ 6-9在习题6-8情况下，测得模型输水管长lm＝5m的两端压强水头差==3cm。试求原型输油管长lp＝100m两端的压差高度（以油柱高度表示）是多少