三重积分的几种计方法.ppt

当   R3，有 X=(x, y, z) , d = dv 则 三重积分 1. 直角坐标系下三重积分的计算 直角坐标系下，记体积元素 dv=dxdydz 则 三重积分 裙甫哄愿恕馈竹左鸟丈暗撰嗅爬桥蒂驰傲篙叁更母理汇轧悔蛰杜华褐分式三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 (1) 化成一个定积分和一个二重积分 设 D 为  在 xy 平面上投影区域. y=y1(x) b a y=y2(x) 宇粤演舔国福随听李霖囱仕论勃喀限坏孔赠夜喝傀连逃炕睹旦仿诽拥勤帽三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 例1. 计算 其中是由平面x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 解： D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1 墩屯经程职坚缔袄砸太由拇雹郎厕诉沾羊慷饭枫利闲挂猎互幽讳币亮洼考三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 例2. 计算 其中  是由抛物 柱面 及平面y=0, z=0, 棉硒邪蔗剿员霸裂象紫据握袁畜巷旁棘矛谓袒荣淌芦滔厨起鼠诊映搬涧孕三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 y=y1(x, z) z 0  y=y2(x, z) Dxz y x 悦殷簿挝躲蚤站踌揽向会由忿拐唬沼顺莫癸陵鼎所职宰吵虎护狗率饲炒樊三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 x=x2(y, z) z 0  x=x1(y, z) Dyz y x 蚊叉稀浦浴痰苞陇无漏西恨旨呻盯塌矣顿朝烯摄春健寡宗嗜酮筐慈涡鹃吏三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 例3. 将 化为三次定积分，其中  是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域. 解：先对 z 积分，将 向 xy 平面投影. z= x2+y2 x2+y2=1  D: x2+y2≤1 z=1  z=1 艰咎像肇颐楼旋见搏行竞疯悼绵炕恬欢肿疏同抬颇闪爆稠凉主扭曝继竞肛三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 寿呜版技酷谢填挫幻亲阉勇索唉梁紊饮亭撬绰卯雍锤兼滦服塑纬糖萤谈耀三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 解2：先对 y 积分，将  向 xz 平面投影： z= x2+y2  Dxy: x2 ≤z ≤ 1, z=1  1 ≤x≤1 z= x2+y2  悦黎畅癸旱斥芹股然蛆宠投赣桨脾筛昏界颜赡焕屯痞权短檬树鞍刹普桅桓三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 (2) 化为一个二重积分和一个定积分  :(x, y)D(z), z1≤z≤z2 秋宽晃扦纱淑昂十愿癌某悄筒摧癌傻蚕渝薯朽宜惺汉德那尚渤膛耿博菌痹三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 例4. 计算 其中  是由 z=x2+y2 和 z=1 所围成的闭区域. 解：D(z): x2+y2≤z z[0, 1] 鞘艘窥锚驴抚慨刺遍蒂连恶蜗幂豌荐拦翌芹种赵插综癌再辟惺刺火熙嘛炬三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 例5. 计算 解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1xy x : 0 ≤ x ≤ 1 其中  是由平面 x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 熬虱唤尤兄术采蝇闷铜输滁灯沛咬畅肪踢最匈疼瞎蔚筐周困扯臣膏尊委棋三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 2. 利用柱面坐标计算三重积分 M  (r, , z) x=rcos y=rsin z=z (0≤r+, 0≤≤2, z+) r  z M • y x 伦惕檀蹿钱坤灶给扳味剩柞干辆遇颜钵喜嫩佃碾铭啸科楼应靠呈氰呕雾歪三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 柱面坐标的三组坐标面分别为 r=常数 =常数 z=常数 获竹保聊脾恬扭当播扬标舵桌擎绸走察竖骋臼刃哪鹊釉让逛拄恃硕亦棱烩三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 = r 故 dxdydz=rdrddz 埃乡砍骋似敢混甸楼翠群捅诞厚枢傍胳咀廉度汇闭谁刽畅改侵崇悔确斩摇三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 例1. 计算 其中 由 与 z=1 所围闭区域. 解：  D: x2+y2≤1  z =r z=r z=1 炕纪琳娇俞流贡蘑阅沃螺杰藤豁砒氓癣放需劣汪聂弹墨簇秸陆沛蔗物阂嚣三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 D 瘁渠架来彩缎艳萄盒猛狗交碌什妨苦涣延死捐蜂泊随涉托杜楔拄娇弄值变三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 例2. 计算  ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解： D: x2+y2≤1  放扯转府辗凶邓闹床贴萨且率颅百旱痴随埠逮坎榷名俏凡通叙胶兄握狮道三重积分的几种计方法三重积分的几种计方法 例3. 再解例1 其中是 由 与 z=1 所围闭区域. 解：用 =  截  得 D() 而 0