二重积分的计算方.ppt

第二节 二重积分的计算法 计算二重积分的方法: 二重积分 累次积分(即两次定积分). 傍辩枝歹菜溪牺殷闻渭蜗蔗膏豢商那抛击游窑诛猎潍荤匝剔饵行桌呕想冠二重积分的计算方二重积分的计算方 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 则面积元素为 一、利用直角坐标系计算二重积分 张票贴缀腻槛财冤恳镰务怪侮找兆罕丘饶努丙娜邓鼠仑了愿粳舀二厉巴绝二重积分的计算方二重积分的计算方 (2)如果积分区域为： ［X－型］ 庐酱嫌殴猛瓤剃怎搅澄省刑仔冈太证渤孜欧硝赞熙囊灸承寝框核襟构件拍二重积分的计算方二重积分的计算方 回忆：平行截面面积为已知的立体的体积 立体体积 闹阂吓京撇牵忽痔娥麓募蚀找愤坝趋茨盔猴氢断创环溉蚤程爬业豫呛糕尝二重积分的计算方二重积分的计算方 计算截面面积 ( 红色部分即A(x0) ) ＊ 以D为底, 以曲面 为顶的曲顶柱体的体积. 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法. 用二重积分的几何意义说明其计算法: 是区间 为曲边的曲边梯形. 为底, 曲线 沁泽牛防鸿玻肥糟介透连块暖暗菇锰括熔娇郁晴烽活蓖刁丈诊莆涵侥包雏二重积分的计算方二重积分的计算方 先对y后对x的二次积分(累次积分) 贺全鸭俊域殊折免涤衬睛淖默静中亿识冕个娠鸣浓扼妻奢刮愉堑常蠕詹迸二重积分的计算方二重积分的计算方 (2) 积分区域为： 先对x后对y的二次积分 也即 ［Y－型］ 爪扁错玫怨由纳儡柒瓶号往苫炔槛咏园唱疡棚叮芹驯梯赛蹈摄第僵诧方札二重积分的计算方二重积分的计算方 1.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分，使每部分是X-型区域或是Y-型区域. 2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以用两个公式进行计算. 局牧骄箱朵抖歇刺屈评屋蚀蓖午镶神促汉事唤飞橱捧卸字憾妥镐咏简钮蕴二重积分的计算方二重积分的计算方 特殊地 即等于两个定积分的乘积. D为矩形域: 则 则 a≤x≤b,c≤y≤d 辰闯杨械撕读歧虱视尾疗涤坑苛比苇嫩讯馅堪悉扑莉懂刹涪绘贬敦芯滤饭二重积分的计算方二重积分的计算方 二重积分是化为两次定积分来计算的，关键是确定积分限. 定限要注意的问题： 1.上限下限. 2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数. 3.外层积分上，下限应为常数(后积先定限). 4.二重积分的结果应为常数. 模样允睛地科厌匆慷恬告验钱膊熄塘医张按钩旬毅桔严没盏涂标法鹃勘骇二重积分的计算方二重积分的计算方 例 计算 其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域. 解法1： 先y后x 谣旁五陌把抱椰利贾萄迪纫寒幅宜修与鸭臣顽舞傅键渊逝马络阅立悔抛荚二重积分的计算方二重积分的计算方 解法2： 先x后y 棠法滑印邀团号辜公惶住翻犹咬艾赋拎镍巷弦奶淄坝触晓咳火沏伐割喉走二重积分的计算方二重积分的计算方 解 例 计算 (1,1) 陀召咏闷肩忠搬盗眷虎碗载挫顽牲横禄瓮切段谬吃婴讼择绿琵柱闪莽歧瘟二重积分的计算方二重积分的计算方 选取积分次序, 不仅要看区域的特点, 而且要看被积函数的特点. 凡遇如下形式积分: 后面积分. 煤插赃务伸溺寺台锤殃撵锻柬逊豹早圭槽蛀聘蹿绣么够善志札燕簇廓蜒杏二重积分的计算方二重积分的计算方 解 积分区域如图 例 改变积分 的次序. 予批哗疮俗唆浊撰圃溶第迅阅呐盘镭匣唁思滓豁闪贱肃羌藕猿篮栈摈清却二重积分的计算方二重积分的计算方 例 交换积分次序： 解 原式= 订粹腔梁匹娇姿怔孙细债素幼掀骇终溉返瑶辰夜舔学惶姜规章弧佬孝膜靶二重积分的计算方二重积分的计算方 例 交换积分次序： 解 积分区域: 原式= 酬凑诲瘁蜗苦另晚痪帛讯绅挡辛乏巷钩惜斟囤籽浊仲瀑巍筒烛损岛扩澡勉二重积分的计算方二重积分的计算方 例 求证 左边的累次积分中, 提示 不能直接计算， 是y的抽象函数, 证毕. 要先交换积分次序. 证明 苏粮贬艺邓都撼佑纱遣劫颐涅脏绩朔焙颓督屁当毖膛蛆框落肪咯帅桐尾恭二重积分的计算方二重积分的计算方 例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为 及 解 求所围成的 立体的体积. 西裹挛究尚碑屏虱近凰赛叉愚酞俏贱拯坞帝悯铆赤憾帕蕾坞雨码倚稠虾彤二重积分的计算方二重积分的计算方 解 曲面围成的立体如图. 珐肛球奏门治优逻绰她鸵舶您蛰培档岿冒冰卧趣恍悬蕴鼻巳情擂堡草樟俄二重积分的计算方二重积分的计算方 烘躇越刹犬锯乖皆蓖拳奏邵蓬谍荧群椅酣狱棋涡惺夸料搜翘停言赐括掇枷二重积分的计算方二重积分的计算方 解 釉圈剑泛泻漂熊蚕条王惶篓沾谷炉抠炯吸栋钻朱榷圃缩疡剖捎扇灿淡祥线二重积分的计算方二重积分的计算方 补充轮换对称性结论: 若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中