《高等数学〔A〕》教学大纲.docVIP

《高等数学 (A)》教学大纲 适用对象 理工类本科(学分：11 学时：198)一、课程的性质和任务高等数学是高等工科院校教学计划中一门重要的基础课，它是为培养四化建设人才服务的。 开设这门课，是要系统而全面地介绍数学(主要是微积分学)的基本原理、基本方法及其在几 何、物理中的基本应用，为学生学习后继课程奠定必要而良好的数学基础；通过课程的各个 数学环节的教学，培养学生的抽象概括问题的能力，逻辑推理能力、自学能力、想象能力， 使他们受到运用数学方法分析和解决实际问题的初步训练，从而自觉地运用数学这一有力工 具为学习后继课程，为科学技术工作，为改造自然服务。二、课程的教学内容一) 函数与极限函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段 函数和隐函数，基本初等函数的性质，初等函数，数列极限与函数极限的定义以及它们的性 质，函数的左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比 较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点 的类型，函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最 小值定理、介值定理、零点定理)。二) 导数与微分导数与微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面 曲线的切线和法线及其方程，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算法则，复合函数 、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的求导法则，高阶导数的概念及其求法，可导 性与可微性的关系，一阶微分形式不变性，微分在近似计算中的应用。三) 微分中值定理与导数的应用罗尔定理，拉格朗日中值定理柯西中值定理，泰勒定理，洛必达法则，函数单调性，函数图 形的凹凸性、拐点及渐近线，函数的极值及其求法，函数最大值和最小值的求法及应用，函 数图形的描绘，弧微分，曲率的概念，方程的近似解。四) 不定积分原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的两类换元积分 法与分部积分法，有理函数的积分，三角函数的有理式和简单无理函数等可以化为有理函数 的函数的积分，积分表的使用。五) 定积分定积分的概念与性质，积分上限的函数及其导数，微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式 ，定积分的换元法和分部积分法，无穷限的反常积分与无界函数的反常积分。六) 定积分的应用定积分的元素法，定积分在几何上的应用(平面图形的面积，旋转体体积及平行截面面积为 已知的立体体积，平面曲线的弧长)，定积分在物理学上的应用(变力沿直线所作的功，水压 力，引力)。七) 空间解析几何与向量代数空间直角坐标系，向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，两 向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与 方向余弦，曲面方程(球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 、常用的二次曲面方程)及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上 的投影曲线方程，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂 直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离。八) 多元函数微分学多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上多元 连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，多 元复合函数、隐函数求导法，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，方向导数和 梯度的概念及其计算，多元函数值和条件极值的概念，多元函数极值的必要条件，二元函数 极值的充分条件，极值的求法，拉格朗日乘数法，多元函数的最大值、最小值及其简单应用 。九) 重积分二重积分、三重积分的概念及其性质，二重积分(包括利用直角坐标和极坐标)和三重积分( 包括利用直角坐标、柱面坐标和球面坐标)的计算方法，二重积分和三重积分的几何、物理 应用(体积、质量、曲面面积、质心、转动惯量、引力等)。十) 曲线积分与曲面积分两类曲线积分的概念、性质及其计算，两类曲线积分的关系，格林公式，平面上曲线积分与 路径无关的条件，二元函数的全微分求积，两类曲面积分的概念、性质及其计算，两类曲面 积分的关系，高斯公式，斯托克斯公式，散度、旋度的概念及其计算，曲线积分和曲面积分 的几何、物理应用(弧长、曲面面积、质量、质心、转动惯量、引力和功等)。十一) 无穷级数常数项级数收敛和发散的概念，收敛级数的和与余项的概念，级数的基本性质，几何级数和 P-级数的收敛性，正项级数审敛法，交错级数审敛法，绝对收敛，条件收敛。函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数在其收敛域内的 基本性质，简单幂级数的和函数的求法。函数可