生活中的优化问题举例20582257.ppt

* 3.4 生活中的优化问题举例 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、 效率最高等问题，这些问题通常被称为 优化问题。 例1、汽油的使用效率何时最高 汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度 v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油 的消耗量w是汽车速度v的函数。 根据你的生活经验，思考下面两个问题： (1)是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量 越大？ (2)“汽油的使用效率最高”的含义是什么？ 分析： 汽油的使用效率（单位：L/km） =汽油消耗量÷汽车行驶路程 如果用G表示每千米平均的汽油消耗量， s表示汽车行驶的路程(单位：km),则 解：因为 其中g为汽油消耗平均率（即每小时的汽油消耗量，单位： L/h） G的最小化问题即g/v的最小化问题， 最小值约为 5/90 L ,即约为 0.056 L. 例2、磁盘的最大存储量问题 (1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？ (3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？ R r 问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。 是不是r越小，磁盘的存 储量越大？ (2) r为多少时，磁盘具有最大存储量 （最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：存储量=磁道数×每磁道的比特数 (1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。 (2) 为求f(r)的最大值，先计算 解得 例3、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 你是否注意过，市场上等量的小包装 的物品一般比大包装的要贵些？你想从数 学上知道它的道理吗？ (2) 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润 越大？ 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8?r2分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1 ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. 问题：(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最 小？ 解:由于瓶子的半径为r, 所以每瓶饮料的利润是 2 3 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0, 2、当半径为6cm时，利润最大。 从图中可以看出: 从图中，你还能看出什么吗？ 优化问题 用导数解决 数学问题 优化问题 的答案 用函数表示的 数学问题 练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？ 则两个正方形面积和为 解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中0xl 由问题的实际意义可知： 练习2、 如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积. x y 解:设B(x,0)(0x2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2, |BC|=2(2-x). 故矩形ABCD的面积为: S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0x2). 因此当点B为 时, 矩形的最大面积是 令 ,得 所以当 时, 练习3、用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为 (x+0.5)m,容器的高为 [14.8-4x-4(x+0.5)]/4=3.2-2x. 由问题的实际意义,要求x0,3.2-2x0, 解得x的取值范围是0x1.6. 记容器的容积为ym3, 则y=x(x+0.5)(3.2-2x) (0x1.6). 即有y=-2x3+2.2x2+1.6x (0x1.6). 求导数得 令 ,得15x2-11x-4=0,解得x1=1,x2=-4/15(不合题意,舍去). 所以在定义域(0,1.6)内,只有x=1使导数为0,且当x值接近0或1.6的一端时,y值都很小(接近0). 因此,当x=1时,y取最大值, 得y最大=-2+2.2+1.6=1.8, 这时容器的高为3.2-2x=1.2.