直线斜率在解题中的应用.doc

直线斜率在解题中的应用 直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个值,但其数值意义可以用来解决许多函数或代数问题.要把握好这一问题,就要求我们习惯于用代数和解析几何相结合的方式看问题,特别是把某些函数或代数问题转化为斜率公式来看.只要深入研究就会发现,直线斜率数值意义的解题功效是多方面的,它可以涉及到数列问题,不等式问题,函数最值及值域的确定问题等诸多方面.如果熟练掌握了用直线斜率来处理这些问题,那么对开拓思维,提高解题能力是很有帮助的. 1.构造直线斜率解决数列问题. 数列是一种特殊函数,它的定义域是的子集,任何一个数列都可以对应的“还原”为一个函数.从图像上看,表示数列的点在对应函数的图像上.高中教材中,比较典型的有等差数列的通项公式:,若令,则“还原”为一次函数其中斜率;那么表示数列的点必在直线.这种“还原”就为我们用直线方式观察等差数列问题创造了条件. 例1 在等差数列中,. 解: 从函数的观点来看,在等差数列中,通项是自变量的一次函数,则两点 即都在一次函数所对应的直线上,直线斜率为 =3. 由直线方程的点斜式可得:,整理得.所以. 例2 已知等差数列中的三个数都是正数,且公差不为零,求证它们的倒数组成的数列不可能成等差数列. 证明:令,所以不可能成等差数列.因为要成为等差数列,则A,B,C三点必须在同一条直线上.若与同时成为等差数列,则A,B,C三点共线,可得即由等式 成立,所以,这与公差不为零矛盾,故不可能成等差数列. 2. 构造直线斜率证明不等式问题. 例3 已知都是正实数,并且,求证:. 分析:这是新教材高二数学上册第十二页的一道例题.教材上是用比较法去进行证明的,但细细研究会发现还可通过构造直线斜率来证明该不等式.因为所证式子酷似直线的斜率表达式,故可借助题设条件构造直线,然后运用倾斜角的大小与斜率的关系来证明不等式. 证明: 如图1,在平面直角坐标系内,设点, 点. 由知点A在直线在 第三象限的图像上,点B在直线在第一象 限的图像的下方,于是可得斜率,即.原不等式得证. 3. 构造直线斜率求三角函数值域. 例4 求函数的值域. 分析: 注意到函数式为点与点的连线的斜率且点在圆上,问题就解决了. 解: 表示点与点的连线的斜率,而在圆上.如图2,过点A 作单位圆的切线AB和AC.可设切线方程为 ,则有,整理可解得 .于是所求函数 的值域为. 例4当时，函数的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 解：原式化简为，则y看作点A（0，5）与点的连线的斜率。 图3 因为点B的轨迹是 即 过A作直线，代入上式，由相切（△＝0）可求出，由图象知k的最小值是4，故选C。 说明：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。 4. 构造直线斜率解决变量或参数范围问题. 例5若在圆上运动,求的取值范围. 分析: 可以看成是点与原点连线所在直线的斜率,则可以构造如下一个函数:设 ,得函数.于是所求的取值范围问题就可以转换为求函数所对应直线的斜率的取值范围问题. 解: 因为是直线的斜率. 在圆上,当点是由原点O向圆作切线的切点时(如图3), 取到最大值与最小值. 设直线的斜率为,直线的方程为, 圆心C的坐标为,半径为.由于圆心C 到切线的距离等于半径,于是可得方程: 解得. 所以的取值范围为. 例6若关于的方程组的解中,有一组全为负值,求的取值范围. 解: 从形的角度入手,方程(1)变形为,它表示过定点,斜率为的直线方程.方程(2)表示以为圆心,半 径为4的圆,如图4.满足条件的应满足 .这样交点才能落在劣弧 AB上,而. 因此 . 5. 解应用问题 例7. 如图6，A、B、C、D四村在矩形ABCD的四个顶点处，千米，BC＝4千米，在四村之间要修如图所示的路，其中。怎样修才能使总的路长最短？ 图6 解：分别延长FE、EF与AB交于H，与DC交于G 设（α为锐角），则 则道路总长 要求s的最小值，只需求的最小值，即求点P（0，2）与点Q（）所成直线的斜率的最小值。 因为Q点的轨迹为 如图7，由点P、Q所确定的直线方程为 图7 当直线与相切时，，即α＝60° 说明：本题通过设参数将问题转化为求直线的斜率的最小值的问题。 6比较大小 例8. 若，则（ ） A. B. C. D. （05年全国高考） 解：因为，表示函数的图象上的点（x，y）与坐标原点O连线的斜率，如图1，则 图1 由图象可知： 即，选C。 说明：也可以考察函数的单调性，即利用它的导数来严格求解，但对于选择题、填空题，用数形结合的思想将问题转化为过曲线上的点与原点