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第六章 特征值及其应用 本章内容所涉及的矩阵若无特别说明均为阶复方阵． 6.1 特征值特征向量的一般知识 是阶方阵，若存在复数以及维非零列向量，使，即，则称是的特征值，是的属于的特征向量． 由线性方程组的知识可知：是的特征值是的特征多项式的根． 特征多项式的性质： (1)　相似矩阵有相同的特征多项式；(反之不然) (2)　设是的特征多项式，则．（Hamilton-Cayley定理） (3)　设，则，其中是的所有阶主子式之和，即，． (3)的证明：将和按列分块，利用行列式＂按列拆开＂的性质可得 　　 　　 　　　 　　 　　 　　　 　　　 　　 　　　．　▋ 注：①　在(3)中，． ②　若是的全部根，则．由 根与系数的关系可得，．于是， ．由此可见可逆的特征值均不为0． 特征值、特征向量的性质： 设是阶方阵的特征值，是的属于的特征向量． (1)　是的特征值，是的属于的特征向量． (2)　 可逆时，，且是的特征值，是的属于的特征向量． (3)　 是的特征值，是的属于的特征向量． (4)　当可逆时，是的伴随矩阵的特征值，是的属于的特征向量； 　　当不可逆时：若秩，的特征值只有０，任意非零向量是他的特征向 　　　　　　　　量； 　　　　　　　　　若秩，的特征值为０和， 　　　　　　　　其中０至少是的重特征值． (5)　与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值． (6)　若存在正整数，使，则的特征值只能为０． (7)　 若存在正整数，使，则的特征值只能为０和次单位根．　 (8)　若是的特征向量，则所属于的特征值为． 证明　(1)　由可得，． 设，则．所以 　　　． 可见是的特征值，是的属于的特征向量． (2)　在两边左乘得，即，可见是的属于的特征向量． (3)　，所以是的属于的特征向量． (4)　当可逆时，因为，而，即，亦即，可见是的属于的特征向量． 当秩时，，所以对任意非零向量，有．可见的特征值只有０，任意非零向量是他的特征向量． 当秩时，秩，所以的若当标准形的秩为1，可知的若当标准形的主对角线上至少有个0，因此． 又：．与上式比较得． (5)　． (6)　，但，，即．而，所以． (7)　由，得，所以．而，所以，即，可见为０和次单位根． (8)　设所属于的特征值为，则，两边同时左乘，得，所以． 例1　阶实矩阵的主对角元全为１，且其特征值全是非负数，证明：． 证明　设的个特征值是，则． 又， ． 例２　设阶实矩阵的特征值全是实数，并且的所有１阶主子式之和、所有２阶主子式之和全是０，证明：． 证明　有特征多项式性质(3) 　　　　 其中是的所有阶主子式之和．结合已知有． 设的个特征值是，由根与系数的关系，有，， 所以． 而全是实数，可得．于是的若当标准形形如： 　　　　　　　　　　　　　　　， 即存在可逆矩阵，使，所以（）． 例３　是阶实矩阵，如果对任意维实列向量，恒有，证明：． 注：当对称时，即为正定矩阵． 证明　先证明：的任意一个特征值的实部大于０． 设是的一个特征值，是属于的特征向量，则． 用和分别表示分量的实部和虚部系数构成的列向量，则（注：都是实列向量）．于是，比较等号两端的实部和虚部得 　　　　　　，． 用分别左乘上两式得 　　　，， 两式相加得　． 由已知，又至少有一个不等于０（），所以，从而有． 是实系数多项式，的特征值成对出现．设为的特征值，则（）．由于等于的特征值之乘积，而的实特征值全大于０，每一对共轭的复特征值的乘积大于０，故． ６.2 特征多项式的降阶定理 定理1　设分别是和矩阵，，则 　　　　　　　． 证明　设秩，则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使． 令（其中为矩阵），则 　　， 　　． 因为相似矩　阵有相同的特征多项式，所以 ， ． 当时，由上两式得 　　　　，，显然． 当时，由上两式得 　　　， 所以．　▋ 推论１　设分别是和矩阵，则与的非零特征值相同． 推论２　设是同阶方阵，则与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值和迹． 例４　是阶可逆矩阵，是维非零列向量，证明：的根是０（重）和． 证明　由行列式的乘法规则及特征多项式降阶定理 ， 可见的根是０（重）和． 在例４中，取，则有有个特征根是0，另一个特征根是．例如，，则有个特征根是0，另一个特征根是． 例５　求阶矩阵的特征值及行列式． 解　，其中，． 由以上讨论的根是（重）和．于是的特征值中有个满足，另一个满足．所以的特征值为和．又． 对秩为的阶方阵，设是他的满秩分解，利用特征多项式降阶定理 　　　　　 可见０一定是秩为的阶方阵（）的特征值，且其重数为（注：因为是秩为的阶方阵，故可逆，所以它的特征值均不为０）． 例６　设是阶方阵，如果矩阵方程有解，则． 注：由此例可知，当的迹不为零时，无解． 证明　因为有解，所以存在矩阵，使．于是 ，有推论２，，所以． 特征多