空间向量题型.doc

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空间向量题型

1.(2009年高考山东卷)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点. (1)设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥平面FCC1; (2)证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C. 的底面是菱形.,,,与交于点,,分别为,的中点. (Ⅰ)求证:∥平面; (Ⅱ)求证:平面; (Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=. (Ⅰ)若点M是棱PC的中点,求证:PA // 平面BMQ; (Ⅱ)求证:平面PQB⊥平面PAD; (Ⅲ)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=tMC,试确定t的值 . (本小题共14分) 证明:(Ⅰ)连接AC,交BQ于N,连接MN. ……………………1分 ∵BC∥AD且BC=AD,AQ. ∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点, 又∵点M在是棱PC的中点, ∴ MN // PA ……………………2分 ∵ MN平面MQB,PA平面MQB,…………………3分 ∴ PA // 平面MBQ. ……………………4分 (Ⅱ)∵AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点, ∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ . ……………………6分 ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD, ……………………7分 ∴BQ⊥平面PAD. ……………………8分 ∵BQ平面PQB, ∴平面PQB⊥平面PAD. ……………………9分 另证:AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点 ∴ BC // DQ 且BC= DQ, ∴ 四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD. ……………………6分 ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ……………………7分 ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ. ……………………8分 ∵ AD平面PAD, ∴平面PQB⊥平面PAD. ……………………9分 (Ⅲ)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PQ⊥平面ABCD.……………10分 (不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分) 如图,以Q为原点建立空间直角坐标系. 则平面BQC的法向量为; ,,,.………11分 设, 则,, ∵, ∴ , ∴ ……………………12分 在平面MBQ中,,, ∴ 平面MBQ法向量为. ……………………13分 ∵二面角M-BQ-C为30°, , ∴ . …………………14分 2.如图,在多面体中,四边形是正方形,∥,,,,,为的中点。 (Ⅰ)求证:∥平面; (Ⅱ)求证:平面; (Ⅲ)求二面角的大小。 3.如图, 在四面体ABOC中, , 且 (Ⅰ)设为为的中点, 证明: 在上存在一点,使,并计算的值; (Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值。 4.四棱锥中,底面为平行四边形,侧面底面.已知,,,. (Ⅰ)证明; (Ⅱ)求直线与平面所成角的大小. 5.四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)设与平面所成的角为,求二面角的大小. 6.直三棱柱ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =90°, AA1 =,D 是A1B1 中点. (1)求证C1D ⊥平面A1B ; (2)当点F 在BB1 上什么位置时,会使得AB1

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