立几,解几,导数解答题.doc

2013-4 一、解答题（题型注释） 1．（本题满分14分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，为上一点，且平面． ⑴求证：； ⑵如果点为线段的中点，求证：∥平面． 【答案】见解析. 【解析】（1）本小题可以通过证明平面，来证明. (2) 取中点,通过证明四边形为平行四边形,从而证明出∥,问题得解。 证明：⑴因为平面，平面，所以．…2分 因为，且，平面， 所以平面．…………………………………………………………………4分 因为平面，所以．……………………………………………6分 ⑵取中点，连结． 因为平面，平面，所以． 因为，所以为的中点．………………………………………………8分 所以为△的中位线．所以∥，且=．…………10分 因为四边形为平行四边形，所以∥，且． 故∥，且． 因为为中点，所以∥，且． 所以四边形为平行四边形，所以∥．……………………………12分 因为平面，平面，所以∥平面．…………14分 2．在四棱锥中，平面，底面为矩形，. （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值. 解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形， 又因为,又………………3分 (Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示， 则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分 设BQ=m，则Q(1，m,0)(0 , m, a)要使，只要 所以，即………6分 由此可知时，存在点Q使得 当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2, 设平面POQ的法向量为 ,所以 平面PAD的法向量 则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以 因此二面角A-PD-Q的余弦值为 3．如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面，，点E是SD上的点，且. （1）求证：对任意的，都有AC⊥BE； （2）若二面角C-AE-D的大小为，求的值 （1）如图建立空间直角坐标系， 则， ， ∴对任意都成立， 即AC⊥BE恒成立； ……………………6分 解：（2）显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， ∵， ∴， 取，则，， ………………10分 ∵二面角C-AE-D的大小为， ∴， ∴为所求。 中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，且侧棱面，点是的中点． 求证：(1)；（2）求证：∥平面 【答案】因为三棱柱是正三棱柱，所以平面， 又平面，所以，……………………………………… 2分 又点是棱的中点，且为正三角形，所以， 因为，所以平面，………………………………4分 又因为平面，所以．………………………………6分 (2)连接交于点，再连接．………7分 因为四边形为矩形，所以为的中点，………………8分 又因为为的中点， 所以.………………………10分 又平面，平面，所以平面． 5．已知是边长为的正方形ABCD的中心，点E、F分别是AD、BC的中点，沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B； （Ⅰ）求∠EOF的大小； （Ⅱ）求二面角E-OF-A的余弦值； （Ⅲ）求点D到面EOF的距离. 【答案】（Ⅰ）以O点为原点，以的方向为轴的正方向，建立如图所示的坐标系，则，，，， ， （Ⅱ）设平面EOF的法向量为，则 ，即，令，则， 得， 又平面FOA的法向量 为 ，， 二面角E-OF-A的余弦值为. （Ⅲ）， ∴点D到平面EOF的距离为. 6．（本题满分13分）已知△的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于． （Ⅰ）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线； （Ⅱ）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合)直线轴的交点是否是定点 【答案】(1) 当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点； 当时 轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点； 当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点； 当时 轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点 (2) 直线过定点 【解析】 试题分析：（）由题知： 化简得： 当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点； 当时 轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点； 当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点； 当时 轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点； ……………………………6分 （）设 的斜率存在且不为零，则可设:， 代入整理得 ，， 又因为不重合 的方程为 令， 得 直线过定点. 解二：设 的斜率存在且不为零，可设: 代入整理