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共边定理基本模型（顶点-分点图形）点在三角形内： 点在三角形外，底边同侧： 点在三角形外，底边异侧： 共角定理（鸟头模型，分点-分点图形） 两点都在边上： 一点在边上，一点在边的延长线上： 两点都在边的延长线上（沙漏模型）： （2009年四中入学测试题） 如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是． 【详解】连接，． 根据题意可知，；； 所以，，，，， 于是：；； 可得．故三角形的面积是40． （回顾等积变形）三角形ABC中，AB=5AD，AC=3AE三角形ADE的面积为1，求三角形ABC的面积？ 三角形等积变形中常用到的几个重要性质： 平行线间的距离处处相等 等底等高的两个三角形面积相等。 底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的顶点时同一个这样的两个三角形面积相等。 若两个三角形的高（或者底）相等，其中一个三角形的底（或者高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。 本题中，观察图形可以看出，三角形ABC、三角形ADE既不等底也不等高，很难利用有关性质，为此我们需要吧三角形ADE的底或高于三角形ABC的相应量联系上。连结BD，三角形ABD既是三角形ABC的一部分又与三角形ADE有等高的关系。 三角形ABD的底AB是三角形ADE的底AE的5倍，根据等高的两个三角形面积之间的倍数关系和底之间的倍数关系相同，可以知道，三角形ABD的面积是三角形ADE面积的5倍。 用类似的方法，观察三角形ABD与三角形ABC的关系，可以知道，三角形ABC面积是三角形ABD面积的3倍。因此，三角形ABC的面积是三角形ADE面积的15倍，这样很容易就求出三角形ABC的面积是15。 如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积。 【分析】本题是性质的反复使用。连接AE、CD。因为，所以同理可得，，，，。 最后三角形的面积。 (2008年四中考题)如右图，，，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是 平方厘米． 连接．根据题意可知，的面积为面积的，的面积为面积的，所以的面积为面积的．而的面积为5平方厘米，所以的面积为(平方厘米)． 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、P、F分别是AD、CE、BP的中点，求三角形DBF的面积。 如图连结PD和BE 因为S正方形ABCD=42=16，所以.因为E是AD的中点，所以,又因为P是CE的中点，所以. 从而有 如下图，、、、均为各边的三等分点，线段和把三角形分成四部分，如果四边形的面积是24平方厘米，求三角形的面积． 【详解】设三角形以为底的高为, 由于，所以； 所以三角形以为底的高是； 又因为三角形以为底的高是, 所以三角形的面积与三角形的面积之比， 所以三角形的面积为(平方厘米)， 而三角形的面积占三角形的， 所以三角形的面积是（平方厘米）． （2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛） 有正三角形，在边、、的正中间分别取点、、，在边、、上分别取点、、，使，当和、和、和的相交点分别是、、时，使． 这时，三角形的面积是三角形的面积的几分之几？请写出思考过程． 【详解】连接、、，显然，是正三角形将放大至如图⑵． 图⑴ 图⑵ 连，由对称性知，．因此，． 同理，．所以，． 燕尾定理： S△ABGS△AGCS△BGES△EGCBEEC； S△BGAS△BGCS△AGFS△FGCAFFC； S△AGCS△BCGS△ADGS△DGBADDB； 问：为什么称之为燕尾定理？ 答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部分，看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴，A是尾巴与身体的连接点，AG是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子尾巴的两侧翼.同学们也可以自己动手，试试以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能不能画出燕子的尾巴. 燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理： 举例：如右图，D是BC上任意一点，请你说明 S1S4S2S3BDDC 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底， 所以有S1S4 BDDC ；三角形ABE与三角形EBD同高，S1S2 EDEA三角形ACE与三角形CED同高，S4S3，所以S1S4 S2S3；综上可得S1S4S2S3BDDC. 在中，， ，求？