第1讲立体几何中的向量方法一1.doc

第讲　立体几何中的向量方法(一) 【2013年高考】 1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算． 2．能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理． 3．利用空间向量求空间距离． 【复习指导】 本讲复习中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离． 基础梳理 1．空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)； λa＝(λa1，λa2，λa3)； a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则ab?a＝λba1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λR)， ab?a·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝＝， cos〈a，b〉＝＝. 设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则dAB＝||＝. 2．立体几何中的向量方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． 平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 (2)用向量证明空间中的平行关系 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1∥v2. ②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则lα或lα?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. 设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则lα或lα?v⊥u. ④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则αβ?u1∥u2. (3)用向量证明空间中的垂直关系 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. 设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则lα?v∥u. ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则αβ?u1⊥u2?u1·u2＝0. (4)点面距的求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝. 一种思想 向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化： (1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标； (2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标． 得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题． 三种方法 主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题： (1)平行 (2)垂直 (3)点到平面的距离 求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基础． 双基自测 1．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是(　　)．A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定 2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是(　　)． A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4) 3．已知点A，B，C平面α，点Pα，则·＝0，且·＝0是·＝0的(　　)． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是(　　)． A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 5．(2012·舟山调研)已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________． 【例1】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN平面A1BD. [审题视点] 直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明． 证明　法一　如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是＝， 设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． 则n·＝0，且n·＝0，得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1.n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－