第2章 复变函数的积分.ppt

2.1.2 复积分的性质 小结 问题：研究复积分与路径的无关性 2.3 原函数与不定积分 小结 3.3.2解析函数的无穷可微性 3.3.3 Chauchy公式的应用 解 所以积分与路线无关，根据N-L公式: 例2.3.5 1. 重点掌握柯西基本定理 注意定理成立的条件. 2. 复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它是本章的难点. 常用结论: 3. 介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿—莱布尼兹公式. 应注意与《高等数学》中相关内容相结合, 更好的理解本课内容. 思考 1. 应用柯西定理应注意什么? 2.复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要注意什么问题? 3. 解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同? 定理3.11 设区域D的边界是围线(或复围线)C, f(z)在D内解析,在 =D+C上连续,则有： 这就是柯西积分公式. 3.3.1 Cauchy积分公式 z 2. 4 柯西（Cauchy）积分公式 定理3.11 设区域D的边界是围线(或复围线)C, f(z)在D内解析,在 =D+C上连续,则有： 这就是柯西积分公式. 3.3.1 Cauchy积分公式 z 2. 4 柯西（Cauchy）积分公式 定理3.13 设区域D的边界是围线(或复围线)C, f(z)在D内解析,在 =D+C上连续,则函数f(z) 在区域D内存在各阶导数,并且有 定理3.14 设f(z)在z平面上的区域D内解析,则在D内具有各阶导数,并且它们也在区D内解析. 证 设z0为D内任一点,将定理3.13应用于以z0为心的充分小的圆内(只要这个必圆全含于D内),即知f(z)它在此圆内有个阶导数.特别来说,f(z)在点z0有各阶导数.由于z0的任意性,所以f(z)在D内有各阶导数. 这样,由函数在D内解析(注意:仅只假设其导数在D内存在!),就推出了其各阶导数在D内存在且连 续:而数学分析中区间上的解析函数,在此区间上不一定有二阶导数,更谈不上有高阶导数了. 借助解析函数的无穷可微性,我们现在来判断函数f(z)在区域D内解析的一个充分条件----定理2.5,补充证明成刻划解析函数的第二个等价定理: 定理3.15 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内 解析的充要条件是 (1) ux,uy,vx,vy在D内连续; (2) u(x,y),v(x,y)在D内满足C.-R.条件. 证 充分性： 即定理2.5. 必要性： 条件(2)的必要性以由定理2.1得出.现在,由于解析函数f(z)的无穷可微性,f’(z)必在D内连续,因而ux,uy,vx,vy必在D内连续. ① 柯西不等式 设f(z)在区域D内解析,a为D内一点,以a为心作圆周γ:|ζ-a|=R,只要γ及其内部K均含于D,则有 其中M(R)=max|f(z)|,n=1,2,…. |z-a|=R 证 应用定理3.13于K上,则有 第2章 复变函数的积分 * 2.1 复变函数的积分 2.2 柯西积分定理 2.3 不定积分 2.4 柯西积分公式 2.1.1 积分的定义 2.1 复变函数的积分 若 存在， 若 l 为简单闭曲线（称为围线）， 则称为围线，记作 积分存在的条件： f (z) 在曲线 l 上连续 则称此极限为 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的积分，记作 复积分与实变函数的定积分有类似的性质. 积分路径的可加性 ★ 性质(5)、(6)的证明 两端取极限得 [证毕] 性质5 性质6 2.1.3 复积分计算的参数方程法 若 l 的参数方程为: z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) (??? t ? ? ) 则 例2.1.1 解 (1) 积分路径的参数方程为 y = x (2) 积分路径的参数方程为 y = x (3) 积分路径由两段直线段构成 x 轴上直线段的参数方程为 1到1+ i 直线段的参数方程为 y = x 例2.1.2 解 (2) 积分路径由两段直线段构成 x 轴上直线段的参数方程为 3 到 3+ 4i 直线段的参数方程为 由(1) 和(2)可知：积分与路径无关 例2.1.3 解 积分路径的参数方程为 重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关. 本节学习了积分的定义、存在条件以及计