第2章4控制系统的状态空间表达式.doc

2-5 系统状态方程的线性变换 2-5-1 系统状态空间表达式的非唯一性 系统动态方程建立，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。所以说系统动态方程是非唯一的。 虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。 设给定的系统为： 　 作线性变换： 即 --为非奇异矩阵（变换矩阵） 则：， 因为T为任意非奇异矩阵，所以状态空间表达式为非唯一的。 2-5-2系统特征值的不变性及系统的不变量 系统特征值 特征方程： 系统特征值即为特征方程的根。 系统的不变量与特征值的不变性 系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。 证明：系统经非奇异变换后，得 其特征方程为： 所以，特征值是不变的。 因为 所以，是不变的，为系统的不变量。 3．特征矢量 为标量，是A的特征值 若，即矢量（n维）经A线性变换后，方向不变，仅长度变化倍，称为A对应于的特征矢量。 例：求的特征矢量 解： ，， 设对应于的特征矢量为，则 令 同理可求出对应于， 对应于， 2-5-3状态空间表达式变换为约旦标准型 　 特征值 （1）无重根 （2）有重根（个重根） A阵为任意形式 （1）A的特征值无重根时 （互异特征根）（特征矢量）（） 变换矩阵 （2）A的特征值有重根时 ----个重根 ----个互异根 a)对应于个重根的各向量 ----对应的特征矢量 ----广义特征矢量 b)对应于个互异根的特征矢量 （） 例：试将下列状态方程变换为约旦标准型 解： ，， 由前面例子已求出对应于的特征矢量为 对应于的特征矢量为 对应于的特征矢量为 变换阵为， 变换后， 变换后的状态空间表达式为 2. A阵为标准型 （1）A的特征值无重根时 变换矩阵T----范德蒙德（Vandermonde） （2）A的特征值有重根时 设为三重根 （3）有共轭复根时 设四阶系统其中有一对共轭复根，， 此时， 例2－10 已知某系统的动态方程为 试将系统化为月约旦标准型（对角线标准型）。 　 解：系统特征方程为： ，， 变换阵 （范德蒙矩阵） 所以变换后系统的对角线标准型为 　 　 2-6 从状态空间表达式求系统传递函数（阵） 系统状态空间表达式和系统传递函数（阵）都是控制系统两种经常使用的数学模型。状态空间表达式不但体现了系统输入输出的关系，而且还清楚地表达了系统内部状态变量的关系。相比较，传递函数只体现了系统输入与输出的关系。我们已知道，从传递函数到状态空间表达式是个系统实现的问题，这是一个比较复杂的并且是非唯一的过程。但从状态空间表达式到传递函数（阵）却是一个唯一的、比较简单的过程。 2-6-1传递函数（阵） 1．单输入单输出（SISO）系统 设系统动态方程为： 、为标量 假定初始条件为零 （为标量） 2．多输入多输出（MIMO）系统 设系统动态方程为： 假定初始条件为零 （；） 当时， 耦合关系：多变量系统的特点 的分母，就是系统矩阵A的特征多项式；的分子，是一个多项式矩阵。 同一系统，其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传递函数阵是不变的。 现代控制理论讲义 - 29 - 耦合 传递函数（阵） 实现问题（非唯一） 状态空间表达式 （唯一）