第3章1复变函数的积分.ppt

* 第3章 复变函数的积分 1.有向曲线 §1 复变函数积分的概念 设C为平面上 规定了方向的曲线 C A B 其中A为起点, B为终点, 从起点到终点的方向 称为正方向, 记为C 从终点到起点的方向 称为负方向, 记为C— 简单闭曲线 的正向规定为: 沿着该曲线前进时 它围成的内部 始终在左侧 起点 终点 的一条光滑曲线 称为有向曲线. D 2.复变函数积分的定义 设函数 定义在区域D内, C是D内起点为A 终点为B的 A B C 一条光滑有向曲线， 用n—1个分点， 将C分成n个小弧段， 如果极限存在, 则称该极限值 为函数 沿曲线C的积分 记为 如果C为闭曲线 则沿该闭曲线 的积分记为 则沿曲线C 3.积分存在的条件 如果 在区域D内 且曲线C是D内 或者是一条 一定存在 D A B C 光滑曲线 分段光滑曲线 处处连续, 一条光滑曲线, 分段光滑曲线, 的积分 A B C 起点 终点 C=C1+C2 C1 C2 4.积分的性质 若在曲线C上 曲线C的长度为L, 则 写出曲线C的参数方程 5.积分的计算方法一： 参数方程代入法: A B C 起点 终点 求出起点A对应的参数 终点B对应的参数 从原点到 的直线段 例如从原点到 的直线段 为中心、 半径R的圆的方程 原点为中心、 半径R的圆的方程 的参数方程为 的参数方程为 48页2. 计算 起点 终点 1）解 参数方程： 2）解 参数方程： 原式 原式 1)沿直线 2)沿曲线 例2 计算 1) 从原点到 起点 终点A 的直线段 1)解 参数方程： 其中C为 2) 从原点沿实轴到1, 再从1垂直向上到 的折线段 2) 解 C1 C2 C1参数方程： C2参数方程： 练习 计算 其中C为一条闭路， 由直线段： 与上半圆周 组成 O 解 设 原式= 记住36页例3.2的结论 设C： 证明： 整数 C的参数方程: 积分算法二： 特别 C是以原点为中心、 半径为r的正向圆周 整数 例如 O 例3 计算 其中C为正向圆周: 解 解法2 由 得到 原式= 2) 解 由 得到 原式= D Th3.3若 §3.2 柯西积分定理 在单连通区域D内 解析, 则 沿D内 的积分 C 证明 在D内解析 与 在D内可微，且 所以 因为 根据格林公式 一、 D1 单连通区域上 的柯西积分定理 任何一条 封闭曲线C 为零 积分算法三： Th3.3 若 在单连通 解析, 则 任何一条 的积分为零 C 设C是一条 Th3.4 若 则 沿D内 例1 计算积分 其中C是正向圆周： 解 因为函数 在闭区域 上处处解析 所以 例2 计算积分 其中C 解 因为函数 在复平面上 所以 区域D内 简单闭曲线 是包围原点 的闭曲线 简单闭曲线C 处处解析 在闭区域 上解析 例3 计算积分 其中C是正向圆周： 解 在 上解析 所以 例4 计算积分 其中C是正向圆周： 解 在 上解析 所以 因为 因为 * * *