第5节极值与最值.ppt

二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极值与 最大值最小值 第三章 一、函数的极值及其求法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大值点， 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小值点， 称 为函数的极小值 . 极大值点与极小值点统称为极值点 . 注意: 为极大值点 为极小值点 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. 例如 为极大值点, 是极大值 是极小值 为极小值点, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 1 (极值第一判别法) 且在空心邻域 内有导数, (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放\暂停 例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 令 得 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 证: (1) 存在 由第一判别法知 (2) 类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (判别法的推广) 则: 数 , 且 1) 当 为偶数时, 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 为奇数时, 为极值点 , 且 不是极值点 . 当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 , 故结论正确 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 利用 在 点的泰勒公式 得 例如 , 例2中 所以 不是极值点 . 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 说明: 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 最小值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 . (小) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解: 显然 且 故函数在 取最小值 0 ; 在 及 取最大值 5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此也可通过 例4. 求函数 说明: 求最值点. 与 最值点相同 , 由于 令 在闭区间 上的最大值和最小值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( k 为某一常数 ) 例5. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 D 点应如何选取? 20 解: 设 则 令 得 又 所以 为唯一的 极小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 . 总运费 物从B 运到工厂C 的运费最省, 从而为最小点 , 问 km , 公路, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为 令 得 从而有 即 由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 . 机动 目录 上页 下