第6章1数值积分.ppt

数值积分 邹昌文 在构造形如 的两点公式时,如果限定求积节点, 那么所得插值求积公式 的代数精度仅为1。但是,如果对式(1)中的系数 和 节点都不加限制，那么就可适当选取 和 ,使所得公式的代数精度 。事实上，若要使求积公式(1)对函数 都准确成立，只要 和 满足方程组 解之得 代入(1)即得 (2) 可以验证，所得公式（2）是具有3次代数精度的插值型求积公式。 这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点，可使插值型求积公式的代数精度达到最高。这就是本节要介绍的高斯求积公式。 同理，对于一般的插值求积公式 （3） 只要适当地选取其2n+2个待定参数 xk 和 ,就可使它的代数精度达到2n+1次。 定义 若插值求积公式（3）具有2n+1次代数精度，则称之为高斯求积公式，并称相应的求积节点 为高斯点。 可以证明，n个节点的高斯求积公式具有最高不超过2n+1次的代数精度，这就是我们所要讨论的具有最高代数精度的插值型求积公式。 高斯型积分的构造 构造具有2n+1次代数精度的求积公式 将节点 x0 … xn 以及系数 A0 … An 都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解，得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gauss 型求积公式。 例：求 的 2 点 Gauss 公式。 解：设 ，应有 3 次代数精度。 ? + ? 1 0 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x 代入 f (x) = 1, x, x2, x3 不是线性方程组，不易求解。 证明： “?” x0 … xn 为 Gauss 点, 则公式 至少有 2n+1 次代数精度。 对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立： 0 = 0 ? “?” 要证明 x0 … xn 为 Gauss 点，即要证公式对任意次数不大于2n+1 的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明： 设 0 ? 　　　 x0 … xn 为 Gauss 点 ? 与任意次数不大于n 的多项式 P(x) （带权）正交。 定理 求 Gauss 点 ? 求w(x) ? 正交多项式族{ ?0, ?1, …, ?n, … }有性质：任意次数不大于n 的多项式 P(x) 必与?n+1 正交。 若取 w(x) 为其中的?n+1，则?n+1的根就是 Gauss 点。 再解上例： ? + ? 1 0 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x Step 1：构造正交多项式?2 设 c bx x x a x x x + + = + = = 2 2 1 0 ) ( , ) ( , 1 ) ( j j j ? ? 5 3 - = a 0 ) ( 1 0 = + ? dx a x x 0 ) , ( 1 0 = j j ? ? = + + - ? = = + + ? = 1 0 2 1 1 0 2 1 0 0 ) )( 5 3 ( 0 ) , ( 0 ) ( 0 ) , ( dx c bx x x x dx c bx x x j j j j 21 5 9 10 = - = c b 即： Step 2：求?2 = 0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1 Step 3：代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ，A1 解线性方程组，简单。 结果与前一方法相同： ? 利用此公式计算 的值 注：构造正交多项式也可以利用 L-S 拟合中介绍过的递推式进行。 ? 特殊正交多项式族： ① Legendre 多项式族： 1 ) ( ? x r 定义在[?1, 1]上， 满足： 由 有递推 以 Pn+1 的根为节点的求积公式称为Gauss-Legendre 公式。 ② Chebyshev 多项式族： 2 1 1 ) ( x x - = r 定义在[?1, 1]上， Tn+1