一题多解专题一一元二次不等式恒成立问题.docVIP

一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题的两种解法 (1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题. (2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解. 设函数，对于满足1x4的一切x值，都有f(x)0，求实数a的取值范围. 【解析】法一：当a0时，由x∈(1,4)，f(x)0得 或或 所以或或，所以或，即。 当a0时，，解得a∈; 当a=0时，, f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意. 综上可得，实数a的取值范围是。 . 法二：由f(x)0, 即,x∈(1,4)， 在(1，4)上恒成立. 令， ， 所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要即可.a的取值范围为. 针对性练习： 1.已知不等式－2x－m＋10. (1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围； (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围． 解析　(1)不等式－2x－m＋10恒成立， 即函数f(x)＝－2x－m＋1的图象全部在x轴下方. （i) 当m＝0时，1－2x0不恒成立； （ii) 当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足图象开口向下且 方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即则m无解. 综上，不存在这样的m，使不等式恒成立.－1)m＋(1－2x)， 当－1＝0时，即x＝±1时，检验得x＝1时符合题意， 当≠1时，则f(m)是以m为自变量的一次函数，其图象是一条直线，由题意知该 直线当－2≤m≤2时的线段在x轴下方， ∴即 解，得x或x， 解，得x. 由，得x，且x≠1. 综上，x的取值范围为 在区间(－∞，－2]上单调递增，在区间[－2,2]上单调 递减，且b≥0. (1)求f(x)的表达式； (2)设0m≤2，若对任意的x1、x2∈[m－2，m]不等式|f(x1)－f(x2)|≤16m恒成立，求实 数m的最小值． 解析　(1)由题意知x＝－2是该函数的一个极值点. f′(x)＝3x2＋2bx＋c，f′(－2)＝0，即12－4b＋c＝0. 又f(x)在[－2,2]上单调递减，f′(x)＝3x2＋2bx＋c在[－2,2]上恒有f′(x)≤0. f′(2)≤0，即12＋4b＋c≤0.12＋4b＋4b－12≤0. b≤0，又b≥0，b＝0，c＝－12，f(x)＝x3－12x＋1.(2)∵f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)． 0m≤2，而当m－2≤x≤m时，0m≤x＋2m＋2，m－4≤x－2≤m－2≤0， f′(x)≤0，x[m－2，m].因此f(x)为[m－2，m]上的减函数， 对任意x1，x2[m－2，m]都有|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝f(m－2)－f(m) ＝－6m2＋12m＋16≤16m，m≥，即mmin＝.