第七章数值积分与数值微分.ppt

几种常用的高斯型求积公式 几种常用的高斯型求积公式 四、Gauss求积公式的余项（截断误差） xi(i=0,1,…,n)是Gauss点,则由n+1个点,确定2n+1次多项式 定理4 ，则Gauss求积公式的余项为 分析： 自然就想到Hermite插值多项式。 证明： 若f(x)的Hermite插值多项式H2n+1(x) 满足插值条件 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. Phys. North China Elec. P.U. 第七章 数值积分与数值微分 引言 1 问题的提出 既使函数是以解析的形式给出，但由于其表达式比较复杂，我们在高数中所学的方法很难甚至无法计算出其积分或微分的准确值，如 （1） （2） 在工程技术和科学研究中，很多情况下变量间的函数关系是以数表的形式给出的，无法运用我们学过的方法计算其积分和导数！ 2 数值微积分概述 利用函数在一些点上的函数值，计算出该函数的积分或微分满足一定精度要求的近似值！ （1） （2） 数值微积分方法是其它数值方法，如微分方程数值解法等的必备基础。 7.1 数值积分公式及其代数精度 一、数值积分 1、数值积分公式 根据积分中值定理 可以通过在区间[a,b]内选择 的近似值得到积分的近似计算公式: (1) (2) (3) (4) a b x y y=f(x) 矩形公式 —— 梯形公式 数值求积公式的一般形式为 —— 求积节点 其中 —— 求积系数（与f(x)无关） （1）求积公式由求积节点和求积系数唯一确定； （1） 注： （2）求积系数和求积区间、求积节点有关。 为求积公式的截断误差或求积余项。 称 定义 注: 求积余项刻画了求积公式的计算精度! 2、代数精度 定义 若求积公式（1）对任何次数不高于m的多项式都准确成立，而对于m+1次的多项式不能准确成立，则称求积公式（1）具有m阶代数精度。 求积公式（1）具有m阶代数精度 (1)对 ，都准确成立，即 注： (2) 例1 判定以下求积公式的代数精度， — 零阶代数精度 — 3阶代数精度 (1) (2) (3) (4) (5) — 1阶代数精度 (6) 例2 试确定x0，x1使得求积公式 具有尽可能高的代数精度，并求其代数精度。 依次取 ，使得 解: 解得 进一步可以求得其代数精度为3。 # 注: 关于误差和代数精度 （1） 误差和代数精度都是求积公式精度的度量标志。误差是求积公式的计算精度，而代数精度是求积公式对多少函数准确成立的一个度量； （2） 求积公式的误差小，不代表代数精度高，代数精度高，也不代表求积公式的误差小，它们没有必然联系。 3、数值稳定性 7.2 插值型求积公式 设函数f(x)在区间[a,b]上由定义，已知节点 和相应的函数值 从而可以确定插值函数 以pn(x)作为f(x)的近似，可得 1、定义及一般形式 —— 插值型求积公式 一、数值积分 其中 ——Lagrange插值多项式 (3) 插值型求积公式的余项 定理1 形如（1）的求积公式有至少n阶的代数精度 它是插值型求积公式。 证明 必要性 因为求积公式(1)有n阶的代数精度，所以 即(3)式成立。 充分性 由插值型求积公式的余项可得！ # 令 ，构造插值型求积公式 2、Newton-Cotes公式 将求积区间[a,b]n等分，步长为 ， 其中 事实上， —Newton-Cotes公式 Newton-Cotes系数 注: Newton-Cotes系数只与n，k有关,而与f(x)和求积区间[a,b]无关。 并且 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90 4 1/8 3/8 3/8 1/8 3 1/6 2/3 1/6 2 1/2 1/2 1 n 几种低阶Newton-Cotes公式的系数 —梯形公式(1阶) —辛普生(Simpson)公式(3阶) n=4时，称为Cotes公式。(5阶) 定理2 n为偶数时，Newton-