第七节：直线及方程.ppt

第七节 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、直线与平面其它问题 * 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、小结 定义 空间直线可看成两平面的交线． 空间直线的一般方程 例如：z 轴可以看作 yoz 面与 xoz 面的交线 也可以看作 yoz 面与 平 面 x – y = 0的交线 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量． // 直线的对称式方程 直线的对称式方程 （1）当 m , n , p 中有一个为 0，如 m = 0, 而 n , p ? 0 时，则上述方程组应理解为 （2）当 m , n , p 中有两个为 0，如 m = n = 0, 而 p ? 0 时，则上述方程组应理解为 令 直线的一组方向数 方向向量的方向余弦称为直线 L 的方向余弦，它是与方向向量同方向的单位向量。 直线的参数方程 直线的对称式方程 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 解： （1）在直线上任求一点 取 解得 点坐标 问题：如何化一般方程为对称式和参数方程 （2）求直线的一个方向向量 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 解： 点坐标 （2）求直线的一个方向向量 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式 方程 参数方程 结论：若直线 L 的一般方程为 则直线 L 的一个方向向量可以取为 解 取 所求直线方程 上述方程组应理解为 定义 直线 直线 两直线的方向向量的夹角称之.（取锐角） 两直线的夹角公式 ^ 两直线的位置关系： // 直线 直线 例如， 解：取 例3：求直线 与直线 的夹角。 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 ? 称为直线与平面的夹角． ^ ^ 则 ^ ^ 则 ^ 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系： // ^ ^ 则 ^ ^ 则 ^ ^ ^ 解 为所求夹角． 1、求直线与平面的交点。 得直线的参数方程 代入平面方程，得参数 t , 再将 t 代入参数方程即得 x , y , z 。 解 所给直线的参数方程为： 代入平面方程得： 解得： 所以 所求交点为：M ( 1 , 2 , 2 ) 解：分析 本题的关键是求出两垂直相交直线的交点。 思路： 例7：求过点 M( 2 , 1 , 3 ) 且与直线L： 垂直相交的直线方程。 将求两垂直相交直线的交点转化 为求直线与平面的交点 解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点 P, 令 由点法式方程得 依题意所求直线在平面?内，且 通过点M 和 P 例7：求过点 M( 2 , 1 , 3 ) 且与直线L： 垂直相交的直线方程。 解 令 代入平面方程得 交点 所求直线的方向向量可取为 例7：求过点 M( 2 , 1 , 3 ) 且与直线L： 垂直相交的直线方程。 解 交点 所求直线的方向向量可取为 所求直线方程为 例7：求过点 M( 2 , 1 , 3 ) 且与直线L： 垂直相交的直线方程。 2、过直线的平面束方程。 作三元一次方程 所以方程（4）或（3）表示一个平面，且通过直线 L 反之，过直线 L 的任何一个平面（除平面（2）外） ，都包含在平面束（3）中。 称方程（3）或（4）为过定直线 L 的平面束方程 ? 为任意实数 例7 解 过已知直线的平面束方程为 由题设知 解 过已知直线的平面束方程为 由此解得 代回平面束方程为 例7 2、求已知直线在已知平面内的投影直线方程 直线 L 在 ? 内的投影记为 过直线 L 作一与平面?垂直的平面 设L与?的夹角为 则 即为 ? 与 的交线 若记 则直线 的方程为