第三章拉氏变化.ppt

控 制 工 程 基 础 精 品 课 件 老师：张国锋 控 制工程基础 第三章 拉氏变换 一、拉氏变换定义 二、典型时间函数的拉氏变换 三、拉氏变换的性质 四、拉氏反变换定义及其数学方法 五、用拉氏变换求解常系数微分方程 拉普拉斯变换 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。 一、拉氏变换的定义 拉氏变换的定义 设有时间函数f(t)，其中， 则f(t)的拉氏变换记作： L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—象函数。f(t)—原函数 拉氏变换存在的条件 1.f(t)分段连续； 2.时间t充分大时，f(t)满足： 二、典型时间函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数 2、指数函数 2、单位脉冲函数 3、单位斜坡函数 5、正弦函数 6、余弦函数coswt 线 性 性 质 若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有： 三、拉氏变换的性质 实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当ta时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 复数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有 实微分定理 设f(t)的拉氏变换为F(s), 则 其中f(0+)由正向使 时的f(t)值。 复微分定理 f(t)的拉氏变换为F（s）则： 实积分定理 设f(t)的拉氏变换为F(s),则 其中 时的值。 复积分定理 f(t)的拉氏变换为F（s）则： 初值定理 设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为： 终值定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为： 相似定理 F(t)的拉氏变换为F（s），a0,则： 卷积定理 设f(t)的拉氏变换为F(s),g(t)的拉氏变换为G(s)， 则有 式中， 称为f(t)与g(t)的卷积。 四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义 将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程 拉普拉斯反变换 在已知象函数F(s),求f(t)时，对于简单的象函数，可直接查拉氏变换表，但对于复杂的，可利用部分分式展开法，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数 。 1.部分分式展开法 对于象函数F(s), 写成如下形式： 式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点， p1,p2…,pn称为F(s)的零点。 F(s)总能展开成下面的部分分式之和 其中，分子ki为待定系数。 1)F(s)无重极点的情况 于是 求F(s)的拉氏变换 例 解二 设F(s)有r个重极点p1,其余极点均不相同，则 2)F(s)有重极点的情况 解 例 求 的拉氏反变换 * * 控 制 工 程 基 础 精 品 课 件 老师：张国锋