第三章数值积分1.ppt

教学纲要 教学目的与要求 掌握机械求积公式和代数精度 掌握求积公式的构造方法 掌握Newton-Cotes求积公式 掌握复化求积法和Rombeg求积公式及算法 了解差商型数值微分 教学重点和难点 机械求积公式和代数精度及求积公式的构造方法 Newton-Cotes求积公式 复化求积法和Rombeg求积公式及算法 梯形公式 中矩公式 Simpson公式 一般地，可在区间[a,b]上选取n+1个点xi(i=0,1,…,n)，用f(x)在xi处的函数值f(xi) xi(i=0,1,…,n)的加权平均来代替 例1 试分别用梯形公式和抛物线公式计算积分 解 利用梯形公式 Newton-Cotes公式 柯特斯系数 当n=2时，为抛物线公式 例2：用Newton-Cotes公式计算 　　　 解：当n取不同值时，计算结果如下所示。 I准=0.9460831 复化求积法 Newton-Cotes公式的缺点 高次插值会产生Runge现象 多节点Newton-Cotes公式不具有数值稳定性 积分区间越小，也可使求积公式的截断误差变小。 复化求积法的基本思想 把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上采用次数不高的插值公式，然后构造出相应的求积公式，再把它们加起来。 方法：区间[a, b] n(n=4m)等分，对每个小区间[x4k-4,x4k]用Cotes公式，再累加起来。 复化求积公式的截断误差 用复化梯形公式计算 令h=1/8=0.125，n=8 用复化抛物线计算 令h=1/8=0.125,m=4,n=8 容易证明复化梯形公式的余项为 复化抛物线公式的余项为 变步长法（逐次分半法） 在复化求积公式中，截断误差随n的增大而减小，如何确定n的值，使误差在允许范围之内。 问题：步长取得太大则精度难以保证，步长太 小，又会导致计算量的增加 解决方法：让节点数目从少到多地变化，且不断考察计算精度，一旦满足精度要求停止计算 变步长法的步骤 步骤： 1）在积分区间[a,b]上采用某固定的n，用Tn近似 2）在上述基础上，将小区间分半，用T2n近似 3）判断 是否成立，成立则表示T2n满足精度要求，否则转第二步。 梯形法的递推化（一） 对梯形公式用逐次分半法 1）n=1 梯形法的递推化（二） 梯形法的递推化（三） 优缺点 优点 区间逐次对分时只需计算新增加的函数值，避免了老分点上函数值的重复计算，可使计算量减少将近一半。 缺点 以减少区间长度，增加运算量特别是增加计算新的函数值来达到提高结果精度，有时运算量还是很大的。 用T2n的误差修正T2n Romberg积分的计算过程 用Romberg求积法计算积分 的近似值，要求误差不超过 Romberg法优点 1）计算有规律。只需计算梯形公式，然后线性组合，即可构造高精度的公式。 2）充分利用计算机的特点，保留已有结果，循环计算，每次只要计算增加的几个点的函数值。 小结 梯形求积公式和抛物求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度的方法能得到更好的效果。复化梯形公式和复化抛物求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 Romberg方法，算法简单，当节点加密提高近似精度时，前面的计算结果可为后面的计算所使用。因此，对减少计算量很有好处。并且有比较简单的误差估计方法。 插值型求导公式 1 §4 龙贝格（Romberg）求积公式 由低代数精度求积公式构造高阶代数精度求积公式的方法 在科学试验与生产实际问题中，常常需要计算积分。对于不易直接用积分公式计算的原函数，人们通常用复合梯形求积公式或复合抛物线求积公式等方法，但这些方法精度不高，收敛的速度缓慢。为了提高收敛速度，减少计算量，人们寻求其他方法. Romberg方法也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。 在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程 。 例如：对区间[a， b]，令h=b-a构造梯形值序列{T2K}。 T1=h[f（a）+f（b）]/2 1 把区间二等分，每个小区间长度为 h/2=(b-a）/2，于是 T2 =T1/2+[h/2]f(a+h/2） a h/2 c b 把区间四(2 2)等分，每个小区间长度为h/2 2 =（b-a）/4，于是