第三节 逆矩阵及其求法.ppt

§3.3 逆阵及其求法 一、逆矩阵的概念及其求法 二、逆矩阵的性质 * 返回 * 返回 1.逆矩阵的概念及其求法 2.逆矩阵的性质 定义10 对于n阶方阵A,若有一个n阶方阵B,使AB=BA=E,则称方阵A可逆,并称方阵B为A的逆阵,记作A?1. 注: 如果方阵A可逆,则逆阵是唯一的. ∵设B、C 均为A的逆阵,则 ?逆阵是唯一的. 则B=A?1. B=BE =B(AC) =(BA)C =EC =C 定理一 若方阵A可逆,则|A|?0. [证] ∵A可逆 ?有A?1,使AA?1=E ?|A||A?1|=|E| =1 ?|A|?0 定理二 若|A|?0,则方阵A可逆,且 其中A*称为方阵A的伴随方阵,它是|A|的各个元素的代数余子式所构成的如下方阵: [证] 设 =E 由逆阵的定义有: 同样 注: AA*=A*A=|A|E 推论 若AB=E(或BA=E),则B=A?1. [证] ∵|A||B|=|E| =1 ?|A|?0 ?A?1存在 ?B=EB =(A?1A)B =A?1(AB) =A?1E =A?1 2.若A可逆,则A?1也可逆,且(A?1)?1=A [证] 由推论得 1.若A可逆,则有|A?1|=|A|?1 [证] ∵AA?1=E ?|A||A?1|=1 ?|A?1|=|A|?1 ∵A?1A=E (A?1)?1=A ∵|A?1|=|A|?1 ?0 ?A?1可逆 3.若A可逆,数??0,则?A可逆,且(?A)?1= [证] 由推论得 4.若A、B为同阶方阵,且均可逆,则AB亦可逆,且(AB)?1=B?1A?1 [证] 由推论得: ∵|?A| =?n|A| ?0 ??A可逆 =E ∵|AB| =|A||B| ?0 ?AB可逆 ∵(AB)(B?1A?1) =A(BB?1)A?1 =AEA?1 =AA?1 =E (AB)?1=B?1A?1 [证] 由推论得 另外,定义:当|A|?0时, A0=E, A?k=(A?1)k. k为正整数 5.若A可逆,则A?也可逆,且(A?)?1=(A?1)? ∵|A?| =|A| ?0 ?A?可逆 ∵A?(A?1)? =(A?1A)? =E? =E (A?)?1=(A?1)? 有: A?A?=A?+?, (A?)?=A??. ?,?为整数 例1 求方阵 的逆阵. 解: =2 ?0 ?A可逆 A13=7, A21=2, A22= ?2, A23= ?2, A31= ?1, A32=2, A33=1 例2 求X: 解: 方程两端左乘矩阵 ,得 得 解: 方程两端右乘矩阵 例3 设方阵A满足A2?A?2E=0,证明:A, A+2E都可逆,并求它们的逆阵. [证] A2?A?2E=0 ?A(A?E)=2E ?|A|?0 ?A可逆 A2?A?2E=0 ?A+2E=A2 ?A+2E可逆 A2?A?2E=0 ?(A+2E)(A?3E)+4E=0 ?|A+2E|?0 ? A+2E可逆 * 返回 * 返回