第三讲对数函数及其性质.ppt

§2.2.2 对数函数及其性质 一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做 以a为底 N的对数，记作 a叫做对数的底数，N叫做真数。 复习对数的概念 定义： 由前面的学习我们知道：如果有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，··· ，1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细胞？ 如果知道了细胞的个数y，如何确定分裂的次数x呢？ 由对数式与指数式的互化可知： 上式可以看作以y为自变量的函数表达式 对于每一个给定的y值都有唯一的x的值与之对应，把y看作自变量，x就是y的函数，但习惯上仍用x表示自变量，y表示它的函数：即 这就是本节课要学习的： 定义：函数 ，且 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。 ， 对数函数 判断：以下函数是对数函数的是 （ ） 1. y=log2(3x-2) 2. y=log(x-1)x 3. y=log1/3x2 4.y=lnx 5. 4 二.对数函数的图象: 1.描点画图 的变量x,y的对应值对调即可得到 y=logax(a0,a≠1)的变量对应值表如下. 注意只要把指数函数y=ax (a0,a≠1) 列表 描点 连线 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 x 1/4 1/2 1 2 4 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 这两个函数的图象有什么关系呢？ 关于x轴对称 … … … … … … y=log1/2x y=log2x 2.思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a的取值变化图象如何变化？有规律吗？ 对数函数 的图象。 猜猜: 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 底大图右 y=1 问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格： 3.对数函数的图象与性质： 函数 y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) 底数 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 图象 定义域 奇偶性 值域 定点 单调性 函数值 符号 1 x y o 1 x y o 非奇非偶函数 非奇非偶函数 ( 0 , + ∞ ) R ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数 当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0 当 x＞1 时，y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0 例1:求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x) 解: (1)因为x20,所以x≠?,即函数y=logax2的定义域为 ?-???? ? (0,+?? (2)因为 4-x0,所以x4,即函数y=loga(4-x)的定义域为 (-??4) 例1中求定义域时应注意： 对数的真数大于0，底数大于0且不等于1； 使式子符合实际背景； 对含有字母的式子要注意分类讨论。 例2 比较下列各组数中两个值的大小： ⑴ log 23.4 , log 28.5 　　⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 　　⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 解　⑴考察对数函数 y = log 2x,因为它的底数2＞1 所以它在(0,+∞)上是增函数,于是 log 23.4＜log 28.5 ⑵考察对数函数 y = log 0.3 x,因为它的底数0.3, 即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log 0.31.8＞log 0.32.7 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论: 当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是log a5.1＜log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是log a5.1＞log a5.9 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 注:例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的