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第九讲 平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a= 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yj，则（x, y）叫做c坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cosa, b，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。 定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)， 1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)， 2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c， 3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0), 4. a//bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0. 定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则 定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。 定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. 练习： 1．已知向量，，若向量，则（ ） A． B． C． D．2 2．给出下面四个命题：①；②；③； ④。其中正确的个数为 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 3．向量，，则 （ ） （A）∥ （B）⊥ （C）与的夹角为60° （D）与的夹角为30° 4.若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（ ） （A） （B）2 （C） （D）10、 5．已知点A（2，－4），B（－6,2），则AB的中点M的坐标为 ； 6．若与共线，则＝ ； 7．已知 ||＝1，||＝， （１）若//，求； （２）若，的夹角为135°，求 |＋| ． 8．如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点， 则向量（ ） A． B． C． D． 9。．与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是 （ ） A． B．或 C． D．或 10．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则= （ ） A．0 B．－1 C．－2 D．0.5 11．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则= （ ） A． B． C． D．（1，0） 高三数学平面向量专题复习 一、选择题： 1.若，，则的数量积为 （ ） A．10 B．－10 C．10 D．10 2.若点P分所成的比为，则A分所成的比是（ ） A. B. C.- D.- 3．在矩形ABCD中，，当时， 的值为 ( ) A． B． C．2 D．3 4．已知A（5，7），B（2，3），将=（4，1）平移后的坐标为 （ ） A．（－3，－4） B．（－4，－3） C．（1，－3） D．（－3，1） 5．将函数图象上的点P（1，0）平移至P′（2，0），则经过这种平移后得到的新 函数的解析式为 （ ） A