第二型曲线积分与曲面积分.doc

【第二组】 设是平面单连通区域，若在上连续且具有一阶连续偏导数，则一下六个条件等价： (1)在内处处成立； (2)沿中任意分段光滑闭曲线，有； (3)在内与路径无关，只与的起点和终点有关； (4)在内存在可微的单值数量函数，使是的全微分，即 (5)矢量函数为某单值数量函数的梯度，即 (6)为全微分方程. 【第三组】 设是平面有界区域，若在上连续且具有一阶连续偏导数，则给出两个条件： (1) 在内与路径无关，只与的起点和终点有关； (2)在内处处成立. (1)可以推出(2)；但（2）推不出(1). 【注】(1)对比第一组和第二组理论，我们可以看出，第一组比第二组缺少“是单连通区域”和“在上连续”这两个条件； (2)对比第二组和第三组理论，当是平面连通区域时，“在内处处成立”与“在内与路径无关”互为充要条件；当是平面有界区域(也就是说，没有指明是否为单连通区域)时，“在内处处成立”仅仅是“在内与路径无关”的必要非充分条件，看个例子. 【例】设，在上有 ，但沿圆周正向一周的曲线积分于是曲线积分不是与路径无关. (3)关于全微分方程的注释 若存在二元函数，使，则称微分方程 为全微分方程，它的通解为. 例如，可以验证，在全平面上，， 所以为全微分方程. 取，于是有，通解为. 16.3平面第二型曲线积分的典型例题解析 【例1】设具有一阶连续偏导数，曲线过第二象限内的点和第四象限内的点，为上从点到点的一段弧，则下列积分小于零的是 （A） （C） （D）. 【解】在上，可将其代入被积函数，化简积分表达式，且由题意，设、点的坐标分别为，则必有，于是 ； ； ； . 故选择（B）. 【例2】在变力的作用下，一质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点，问取何值时，所作的功最大，并求. 【解】设线段的参数方程，则在上作功 于是我们需要求在条件下的最大值. 令则 （1） （2） （3） （4） (1),(2),(3),比较一下，立即看出，又，则，得， 从而由实际问题，，故从原点沿直线到作功最大，最大功为. 【例3】计算，其中，为连接点与点的线段之下方的任意线路，且该线路与线段所围成的图形面积为. 【解】，， ，， 故. 【例4】已知平面区域，为的正向边界.试证： (1)； (2). 【证明】(1)根据格林公式，得 ， ， 根据轮换对称性，所以， 故. (2)由于，于是， 故 【例5】确实常数，使得在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求. 【解】记，则，，若为二元函数的梯度，则，.注意到： 易见与为连续函数，因此，可得 即，解得. 由于，则，因此 . 在半平面内任取一点，如作为，则 【例6】设是二阶可微函数，且，若是全微分方程，试求. 【解】由，得，可得 由知，从而，于是 ， 由知，故. 【例7】设具有连续导数，满足，且在平面区域内的任一封闭曲线L的积分: 试求函数. 【分析】沿任意封闭曲线积分等于零的条件处处成立，由此条件可得一微分方程.