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第二章 故障诊断的信号分析与处理技术 1、信号 信号是传递信息的载体。 测量信号是对系统的某物理量，如位 移、速度、加速度、应力、应变等进行观 测获得的数据。 2、连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。 3、模拟信号是连续信号的特例。时间和幅度均连续。 4、离散信号：时间上不连续，幅度连续。 能量信号与功率信号 能量信号 在所分析的区间（－∞，∞），能量为有 限值的信号称为能量信号，即满足条件： 功率信号 信号的平均功率 能量信号的平均功率为零， 功率信号的能量为无限大。 第一节 信号分析与处理中的常用数学变换 付里叶变换： 1.付里叶级数 2.付里叶积分 3.付里叶变换 4.离散付里叶变换 5.快速付里叶变换 1.付里叶级数 满足狄利赫利(Dirichlet)条件的周期函 数在[－T/2， T/2]可展开成付里叶级数： 式中 付里叶级数的复指数形式： 关系称为幅值谱 2.付里叶积分 任何一个非周期函数x(t)都可看作是由周 期为T的函数当T→∞时转化而来的。这样， 我们就可以用周期函数的频谱分析方法来分 析非周期函数。 T→∞， ωn＝nω，Δωn ＝ ωn － ωn－1＝2π/T， T→∞时， Δωn ＝ d ωn ，1/T= dωn / 2π 这就是非周期函数x(t)的展开式，称为 付里叶积分公式。 付里叶变换 （1）付里叶正变换 （2）付里叶逆变换 称为付里叶逆变换 频谱函数（频谱密度） 关系称为信号x(t)的幅值谱密度， 闸门函数 (3)付里叶变换的基本性质 ①线性性质 ②比例伸缩性质(相似性质) ③位移性质 ④对称性质 ⑤函数曲线下的面积 ⑥乘积与卷积 ⑦微分性质和积分性质 由于数字计算机只能处理数字量 而不能处理模拟量，因此，要想在计 算机上实现连续付立叶变换，必须首 先将各模拟量离散化为数字量，这个 连续付立叶变换的离散化实现过程即 是所谓的离散付立叶变换，简称DFT (Discrete Fouerier Transform)。 4.离散付立叶变换 若在计算机上实现这一运算，则必须做到： (1) 把连续信号(包括时域、频域)改造为离散数据； (2) 把计算范围收缩到一个有限区间； (3) 实现正、逆付立叶变换运算。 在这种条件下所构成的变换对称为离散付立叶变 换对。其特点是，在时域和频域中都只取有限个离散 数据，这些数据分别构成周期性的离散时间函数和频 率函数。 连续时间信号x(t)在[0，T]上经过A／D变 换后，得到长度为N的时间序列x(n)，其中 N＝T/Δ t ，Δ t＝1/fs， fs为采样频率，应满 足采样定理，即fs ＞2 fmax ，fmax为欲分析的 信号最高频率，则可将付里叶变换式 化为 在实际运算中，由于只能对有限项进行 计算，因此，必须对连续无限项的频率抽 取离散值，以便与时域采样相对应。取 Δ f＝1/（Δt·N）=1/T，结果把信号x(t)以T为周期加以周期廷拓。对该周期离散信号进行付里叶变换 此即为离散付里叶变换，简写“DFT”。 离散逆付里叶变换(IDFT) 例：求序列 的离散付里叶变换。 解：N=4 W4= 快速付立叶变换 快速付立叶变换(Fast Fourier Transform， 简称FFT)方法是一种减少DFT计算时间的算法， 1965年由美国的库利—图基(J．W．Cooley- J．W．Tukey)首先提出。FFT方法的诞生， 被认为是信号分析、数据处理技术划时代的进 步。 比如对采样点N=1024的离散数据，DFT运算 工作量大约为200万次。FFT仅需约1.5万次， 使得实时分析处理成为可能。 一、DFT的计算方法 1．DFT的计算量 为了说明FFT算法的原理，首先需要分析与研究 DFT变换的方法及所需的计算工作量。 对离散付立叶变换DFT，其计算表达式为： X(k)与x(n)分别为N维的列矩阵，而 和 为N×N方阵，且满足 此时，复数乘法次数N2=16；复数加法次数为 N(N-1)=12。 进一步分析矩阵式，可以发现，有些不必要进 行运算，例如： 还有些可利用的特性，例如： 把以上特性用于N＝4的[W]矩阵，则可简化该矩阵如下： 二、FFT计算方法 基2算法要求N为2的幂。设一个点序列x(n