第二讲矩阵与矩阵的运算1.ppt

矩阵与矩阵的运算 林冬梅 一、矩阵的基本概念 1、定义 矩阵，是由 m×n个数组成的一个m 行n 列的矩形表格，通常用大写字A、B、C 表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母表示其元素 ，其中下标 都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。 比如， 或 表示一个 m×n矩阵，下标 ij表示元素 aij位于该矩阵的第 i行、第j 列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 几个特殊矩阵 1 零矩阵 2、行矩阵列矩阵 A= 几个特殊矩阵 4、单位矩阵 数量矩阵 几个特殊矩阵 5、上三角矩阵、下三角矩阵 如一个n 阶方阵的主对角线下（上）方的元素都是零，则称为上（下）三角矩阵，例如， 几个特殊矩阵 6、相等的矩阵 如果两个m×n矩阵A=（aij) m×n与B=（bij) m×n对应位置上的元素分别相等，即 A=（aij) m×n =B=（bij) m×n 7、负矩阵 矩阵A=（aij) m×n 中各元素变号所成的矩阵 - A=（-aij) m×n 矩阵的运算 一、矩阵的加法、减法 （1）定义：如果 是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数），则定义它们的和 仍为与它们同型的矩阵 ，A+B 的元素为 A和 B对应元素的和，即： A、B的减法定义为A-B=A+（-B） （2）运算律 （ 1）交换律： （ 2）结合律： （ 3）存在零元： （ 4）存在负元： 2 、数与矩阵的乘法 用数乘矩阵A的每一个元素，所得到的矩阵，称为数 与矩阵A的积，记为 A KA=（kaij) m×n = 数与矩阵的乘法满足下列运算律： 例题 例1：求矩阵X，使A+2X=B 其中 矩阵的乘法 设 A=（aij)是m×n矩阵, B=（bij)是n×l矩阵，则矩阵 A可以左乘矩阵B （注意：A距阵 的列数等于矩阵B 的行数），所得的积为一个m×l 距阵C ，即 AB=C，其C=（Cij）中 ，并且 矩阵乘法满足下列 运算律 （ 1）结合律（AB）C=A（BC）； （ 2）左分配律：A(B+C)=AB+AC ； （ 3）右分配律： (A+B)C=AC+BC； （ 4）数与矩阵乘法的结合律： （KA）B=A（KB ）； （ 5）单位元的存在性： EA=AE=A。 矩阵的幂 若 A为n 阶方阵，则对任意正整数k ，我们定义： ，并规定： 由于矩阵乘法满足结合律，我们有： ， 矩阵的乘法与数的乘法区别 （1 ）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便 有意义， 也未必有意义；即使 都有意义，二者也未必相等， 矩阵的乘法与数的乘法区别 （2 ）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，但AB=O不能得出A=O或B=O， 矩阵的乘法与数的乘法区别 （3 ）消去律不成立：如果AB=AC 并且 A≠O，未必有B=C 例、 矩阵的转置 定义与运算率 定义：把一m×n矩阵 的行列互相交换得到 n×m矩阵成为A的转置 记为 运算率(1) (2) (3) (4) 实对称矩阵 定义: n阶方阵A 若满足条件： ，则称A 为实对称矩阵；若满足条件： ，则称 A为实反对称矩阵。 性质: （1 ）对于任意 m×n矩阵A ， 为 n阶对称矩阵；而 为 m阶对称矩阵 （2 ）两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵 （3 ）如果两个同阶（反）对称矩阵 可交换，即 ，它们的乘积 必为对称矩阵 例： 设A为n阶对称矩阵，证明对于任意n阶方阵P, 必为对称矩阵。如果已知 为n阶对称矩阵，问A是否必为对称矩阵。 证明：因为A为n阶反对称矩阵，，必有 所以