第二讲矩阵与运算2.doc

第二讲 矩阵与运算 一、概念 二、提问 8.若是（ ），则必有 对角矩阵；（B）三角矩阵；（C）可逆矩阵；（D）纯量矩阵. 9.设为阶对称矩阵且可逆，则下列矩阵中是对称矩阵的是（ B ） （A）; （C）; （D）. 10.设均可逆，则等于（ ） （A）;（C）; （D）. 11.（2010.3.4）：设为3阶方阵，且， ，则 解答提示： . 12.设为三维列向量，为的转置，若，则 答案：设，则 . 13.（08．1．4）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. 分析：， 故 均可逆. 解答：选 14.判断正误：阶方阵的充要条件是. 证明 必要性显然. 充分性：的列矩阵为，则 由 ，特别地 . 所以 ，故. 15.为实对称矩阵，若，则对吗？ 答案：正确，因为 ,设， () (). 16.（9.1）. 解 . 17.若,则= .（答案：） 18.矩阵的伴随矩阵为=（ D ） （A）; （C）;（D）. 19.（09.3.4）设、均为二阶方阵，、，则分块矩阵的伴随矩阵为（ B ） （A）（B） （C）（D） 分析提示：可逆. 20.(07.3.4)设矩阵, 则的秩为___________. 【答案】应填1 .【详解】依矩阵乘法直接计算得 , 故 （幂等矩阵）且不是单位矩阵，则必为奇异矩阵. 分析：为奇异阵.推导方法正确吗？ 另证：假设为非奇异阵，则可逆，从而由 此与题设不是单位矩阵矛 盾，假设不成立.故必为奇异矩阵. 重要结论：非单位矩阵的幂等矩阵一定不可逆. 22(1994).已知，求. 提示：， . 23.（1994）设是阶非零矩阵，且满足，证明. 提示：将代入. 假设，则与题设矛盾，故. （此题，还有其他证法吗？） 24.(2005年)已知是二维列向量，，，，求 解 . 25.（06.3.4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 . 答案：. 26.（05.3.4）设矩阵= 满足，其中是的伴随矩阵，为的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为 ( ) (A) . (B) 3. (C) . (D) . 【分析】 答案 [ A ] 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：. 【详解】 由及，有， 其中为的代数余子式，且 或 而，于是，且 故正确选项为(). 三、应用举例 例1 （1） 设 ,, . （2）设 ,, . 与不一定相等.,, 则. 例2 解矩阵方程 （1） 解 原方程可化为 利用矩阵相等定义得 故 . （2）解矩阵方程 . 解 因为 ， 所以 . 例3（1999年）设为正整数，求. 解 故 . 例4 （1） 设 ，计算 解 ， ………… . （2）设,计算 . 解 因为 ， 所以 例5 . 解 . 由此归纳出 用数学归纳法证明 当时，显然成立. 假设时成立，则时， 所以对于任意的都有 另解提示：， 且， 利用二项式展开定理 例6 设方阵A=, 求（1） ，（2） 解 （1） . （2） 练习 设方阵A=,计算. 提示： . 练习：已知,求.答案 . 例7 已知方阵A=, 计算（1），（2）. 解 (1) A 可逆， . (2) A可逆， ＝. 例8 已知矩阵,计算矩阵. 解 . 练习： 已知方阵A=,计算. 例9 设 解 . 例10 设, 求 . 解【 存在,】 可逆，且 ， 又 . 例11（1998.）设满足且 ，求. 解 利用将两端左乘得 ， 由于，所以存在. 方程两端右乘得 ,而，所以可逆， 且 所以 . 例12 （）设，,求. 提示：可逆且 . 例13（）设，,求. 提示：可逆且 . 例14（）设，其中，，求 . 提示： ,, , . 例15 证明 . 证明 ; 同理可证 . 例16 （1）对称矩阵、的乘积仍然为对称矩阵的充要条件为与是可交换矩阵；（2）反对称矩阵、的乘积仍然为反对称矩阵的充要条件. 证明（1）因为 为对称矩阵 与为可交换矩阵. （2）因为 为反对称矩阵 . 例17 设列矩阵 为阶单位矩阵，，H为对称矩阵，且. 证 ∴为对称矩阵. 且 . 例18证明：若n 阶矩阵A满足，则有A+E可 逆，并求. 解 因为， 所以 A+E可逆，且. 练习：（2001年）设方阵满足，证明可逆， 并求. 例19设矩阵都是反对称矩阵，试找出 也是反对称矩阵的充分必要条件，并证明之. 证明：由于矩阵都是反对称矩阵得. 又 , 所以为反对称矩阵 . 练习：设矩阵都是反对称矩阵，试找出 是对称矩阵的充分