线性代数宝典3.doc

二、矩 阵 1. 对于阶矩阵： 无条件恒成立； 2. 求要注意两点: (1)中第行元素的代数余子式在中是第列; (2)求时不要忘记. 3. 设，则． 【注:对于二阶矩阵来说(主对角线对调,副对角线变号)】 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪线或箭头；行列式是值，求值时用等号. 典型错误： 5. 一列乘一行为矩阵，一行乘一列为数 6. 注意单位矩阵的恒等变形 ，召之即来，挥之即去，变来变去. 7. 求矩阵的逆或判断矩阵可逆 ① 用定义 若题设阶方阵满足，要证可逆，则先分解出因子，若,则可逆,且 用伴随矩阵 （当时，适用较低阶方阵求逆） 用初等行变换 可逆 设分别是阶,阶可逆矩阵,则: , （主对角分块）； ， （副对角分块） ,（拉普拉斯） ， 8. 看到条件，想到两点：①，即； ②均可逆. 9.求的思路（行造零---造出逆矩阵）: . 10.伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩：(一个四阶矩阵其伴随的秩只可能为4,1,0，不可能为2,3) ②、； ； ； ； . 11. 12. 若为阶方阵，则中的每一个元素的余子式为的一个阶子式； 有一个阶子式中有一个元素的余子式 13. 关于分块矩阵的重要结论: 其中设均可逆, 若则 Ⅰ. Ⅱ. Ⅲ. 14.是阶可逆矩阵 （是非奇异矩阵） （是可逆矩阵） （是满秩矩阵） 齐次方程组仅有零解 对，非齐次线性方程组总有唯一解 与等价（既可以是行等价也可以是列等价） 可表示为若干个初等矩阵的乘积（） 的行(列)向量组线性无关 的特征值全不为0 是正定矩阵 2